Question

efetuar x^4-y^4/x²-2xy+y² : x²+xy/x-y

Answer 1

Para resolver essa divisão devemos, inicialmente, fatorar e, posteriormente, simplificar. É importante saber fatorar para agilizar (facilitar) essa simplificação.
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Casos de fatoração
fator comum: tem que colocar o fator comum em evidência
Fatoração por agrupamento: não se aplica a nenhum dos casos desse exercício.
Diferença de dois quadrados: a² - b² = (a + b) · (a - b)
trinômio quadrado perfeito: 
          a² + 2ab + b² = (a + b)²  ou a² + 2ab + b² = (a + b) · (a + b)

trinômio quadrado perfeito: 
          a² - 2ab + b² = (a + b)²  ou a² - 2ab + b² = (a - b) · (a - b)
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fatoração: diferença de dois quadrados (temos que fazer a fatoração completa)
x⁴ - y⁴ = (x² + y²) · (x² - y²) = (x² + y²) · (x + y) · (x - y)
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fatoração: trinômio quadrado perfeito
x² - 2xy + y² = (x - y) ou x² - 2xy + y² = (x + y) · (x +y)
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fatoração: fator comum
x² + xy = x · (x - y)
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$\ \ \ \ \frac{x^4-y^4}{x^2-2xy+y^2}:\frac{x^2+xy}{x-y}\\ \\ = \frac{(x^2+y^2) \cdot (x^2-y^2)}{(x-y)\cdo(x-y)}:\frac{x\cdot(x+y)}{x-y} \\ \\ = \frac{(x^2+y^2) \cdot (x+y)\cdot (x-y)}{(x-y)\cdot(x-y)}:\frac{x\cdot(x+y)}{x-y}\\ \\ = \frac{(x^2+y^2) \cdot (x+y)}{(x-y)}:\frac{x\cdot(x+y)}{x-y} \\ \\ = \frac{(x^2+y^2) \cdot (x+y)}{(x-y)}\cdot\frac{x-y}{x\cdot(x+y)} \\ \\ = \frac{(x^2+y^2) \cdot (x+y)\cdot(x-y)}{x\cdot(x-y)\cdot(x+y)} \\ \\ = \frac{(x^2+y^2)}{x} \\ \\ = \frac{x^2+y^2}{x}$

Answer 2

$\dfrac{x^4-y^4}{x^2-2xy+y^2}:\dfrac{x^2+xy}{x-y}=$

Diferença de dois quadrados ⇒ $x^4-y^4= (x^2+y^2)(x^2-y^2)$

Trinômio quadrado perfeito ⇒ $x^2-2xy+y^2= (x-y)^2$

Fator comum em evidência ⇒ $x^2+xy= x(x+y)$

substituir e simplificar
$\dfrac{x^4-y^4}{x^2-2xy+y^2}:\dfrac{x^2+xy}{x-y}= \\ \\ \\ \dfrac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{(x-y)^2}:\dfrac{x(x+y)}{x-y}= \\ \\ \\ \dfrac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{(x-y)^\not ^2}:\dfrac{x(x+y)}{1}=$

Diferença de dois quadrados ⇒ $(x^2+y^2)(x^2-y^2)= (x^2+y^2)(x+y)(x-y)$

substituir e simplificar

$\dfrac{(x^2+y^2)(x^2-y^2)}{(x-y)^\not ^2}:\dfrac{x(x+y)}{1}=\\ \\ \\ \dfrac{(x^2+y^2) {(\not x\not +\not y)^1} (x-y)}{( x-y)}:\dfrac{x(\not x+\not y)^1}{1}= \\ \\ \\ \dfrac{(x^2+y^2) (x-y)}{( x-y)}:\dfrac{x}{1}= \\ \\ \\ \dfrac{(x^2+y^2) (\not x-\not y)}{(\not x-\not y)}:\dfrac{x}{1}= \\ \\ \\ \dfrac{(x^2+y^2)}{1}:\dfrac{x}{1}= \boxed{\dfrac{x^2+y^2}{x}}$