Question

(EEAR) Se em um triângulo retângulo um dos catetos mede 2√5cm e a altura relativa à hipotenusa mede √2cm, então a área desse triângulo, em cm², é:

A)10/3 B)20/3 C)10√2/3 D)2√10

Answer 1

Olhar o anexo !

Eu desenhei um triângulo retângulo genérico. Lá, temos que A é a hipotenusa, h é a sua altura relativa e B e C são os catetos.

Usando a primeira relação métrica :

A * h = B * C

Sendo ⇒

h = √2 cm;
C = 2 * √5 cm...

A * √2 = B * 2 * √5

A =  B * 2 * √5 / √2 ⇒ Simplificando 2 com √2 :

A = B * √2 * √5

A = B * √(2 * 5)

A = B * √10 ⇒ 1ª relação !

Aplicando Pitágoras no triângulo ABC :

A² = B² + C²

Sendo ⇒ 
A = B * √10 cm (vindo da 1ª relação);
C = 2 * √5 cm... 

(B * √10)² = (2 * √5)² + B²

10 * B² = 4 * 5 + B²

10 * B² = 20 + B²

10 * B² - B² = 20

9 * B² = 20

B² = 20 / 9 

B = √(20 / 9)

B = √20 / √9 ⇒ Aqui, descartamos quaisquer combinações de raízes negativas pois B é medida !

Fatorando √20, voltamos a 2 * √5 :

B =  2 * √5 / 3 cm

Como B e C formam 90°, podemos usar a fórmula :

A = B * C / 2

A → Área do triângulo...

Sendo ⇒
B = 2 * √5 / 3 cm;
C = 2 * √5 cm...

A = 2 * √5 / 3 * 2 * √5 /2 ⇒ "Organizando" :

A = (2 * √5 * 2 * √5) / (3 * 2)

A = 20 / 6 ⇒ Simplificando :

A = 10 / 3 cm² ⇒ Área do triângulo ABC ! (Logo, alternativa  "A)") !