Question

e) y’’-7y’+12y= 8 e^2x INTEGRAL EDO

Answer 1

Olá, bom dia.

Devemos encontrar a solução geral da seguinte equação diferencial ordinária linear não-homogênea de segunda ordem:

$\mathsf{y''-7y'+12y=8e^{2x}}$

A solução geral será dada pela soma entre a solução da equação homogênea associada e a solução particular, isto é: $\mathsf{y=y_H+y_P}$.

Primeiro, buscaremos a solução da equação diferencial homogênea associada, isto é:

$\mathsf{y''-7y'+12y=0}$

Suponha que a solução seja do tipo $\mathsf{y=e^{\lambda x},~\lambda\in\mathbb{R}}$. Diferenciamos a função:

$\mathsf{y'=\lambda\cdot e^{\lambda x}}\\\\\\ \mathsf{y''=\lambda^2\cdot e^{\lambda x}}$

Substituindo estes termos, teremos

$\mathsf{\lambda^2\cdot e^{\lambda x}-7\cdot\lambda\cdot e^{\lambda x}+12\cdot e^{\lambda x}=0}$

Fatoramos a equação

$\mathsf{e^{\lambda x}\cdot(\lambda^2-7\lambda+12)=0}$

Sabendo que um produto de dois fatores é igual a zero se, e somente se, ao menos um de seus fatores for igual a zero e que $e^{\lambda x}>0,~\forall x\in\mathbb{R}$, assumimos que:

$\mathsf{\lambda^2-7\lambda+12=0}$

Resolvendo esta equação quadrática, chamada de característica, teremos:

$\mathsf{\lambda =3~~ou~~\lambda=4}$

Assim, a solução da equação homogênea associada será:

$\mathsf{y_H=C_1\cdot e^{3x}+C_2\cdot e^{4x}}$, em que $\mathsf{C_1,~C_2\in\mathbb{R}}$.

Agora, para encontrarmos a solução particular, utilizaremos o método da variação de parâmetros.

Consideramos $\mathsf{C_1=u_1(x)}$ e $\mathsf{C_2=u_2(x)}$, parâmetros cujas derivadas não são nulas.

Assim, a solução particular assume a forma: $\mathsf{y_P=u_1(x)\cdot y_1+u_2(x)\cdot y_2}$.

Ao derivarmos a solução da equação homogênea associada e substituirmos as derivadas de primeira e segunda ordem, teremos o seguinte sistema:

$\begin{cases}\mathsf{{u_1}'(x)\cdot y_1+{u_2}(x)\cdot y_2=0}\\\mathsf{{u_1}'(x)\cdot {y_1}'+{u_2}(x)\cdot {y_2}'=f}\\\end{cases}$, em que $\mathsf{f}$ é a função que, anteriormente, omitimos para encontrarmos a solução da equação homogênea associada.

Podemos reescrever o sistema na forma matricial:

$\begin{bmatrix}y_1&y_2\\{y_1}'&{y_2}'\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}{u_1}'(x)\\{u_2}'(x)\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\f\\\end{bmatrix}$

Anteriormente, havíamos calculado as derivadas de $y$, em função de $\lambda$. Substituindo seus valores, teremos:

$\begin{bmatrix}e^{3x}&e^{4x}\\3e^{3x}&4e^{4x}\\\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}{u_1}'(x)\\{u_2}'(x)\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\8e^{2x}\\\end{bmatrix}$

Então, para encontrarmos as soluções de $\mathsf{{u_1}'(x)}$ e $\mathsf{{u_2}'(x)}$, utilizaremos a Regra de Cramer.

Primeiro, calculamos o determinante do Wronskiano, ou determinante principal do sistema:

$\mathsf{W=\begin{vmatrix}e^{3x}&e^{4x}\\3e^{3x}&4e^{4x}\\\end{vmatrix}=4e^{7x}-3e^{7x}=e^{7x}}$.

A regra de Cramer diz que a solução das variáveis será dada pela razão do determinante calculado ao substituirmos a coluna da matriz principal pela coluna dos resultados das equações, em ordem respectiva às soluções e o determinante principal. Isto é:

$\mathsf{{u_1}'(x)=\dfrac{\begin{vmatrix}0&e^{4x}\\8e^{2x}&4e^{4x}\\\end{vmatrix}}{e^{7x}}}$ e $\mathsf{{u_2}'(x)=\dfrac{\begin{vmatrix}e^{3x}&0\\3e^{3x}&8e^{2x}\\\end{vmatrix}}{e^{7x}}}$

Calculando os determinantes, teremos:

$\mathsf{{u_1}'(x)=\dfrac{-8e^{6x}}{e^{7x}}}$ e $\mathsf{{u_2}'(x)=\dfrac{8e^{5x}}{e^{7x}}}$

Integramos ambos os lados das equações

$\displaystyle{\int\mathsf{{u_1}'(x)\,dx=\int\dfrac{-8e^{6x}}{e^{7x}}\,dx}$ e $\displaystyle{\int\mathsf{{u_2}'(x)\,dx=\int\dfrac{8e^{5x}}{e^{7x}}\,dx}$

Aplicando as propriedades para o cálculo das integrais, de acordo com o Teorema fundamental do Cálculo, teremos:

$\displaystyle{\mathsf{{u_1}(x)=-8\int e^{-x}\,dx}$ e $\displaystyle{\mathsf{{u_2}(x)=8\int e^{-2x}\,dx}$

$\mathsf{{u_1}(x)\,dx=-8\cdot\dfrac{e^{-x}}{-1}}$ e $\mathsf{{u_2}(x)\,dx=8\cdot\dfrac{e^{-2x}}{-2}}$

$\mathsf{u_1(x)=8e^{-x}}$ e $\mathsf{u_2(x)=-4e^{-2x}}$

Substituindo estes parâmetros na solução particular, teremos:

$\mathsf{y_P=8e^{-x}\cdot e^{3x}+(-4e^{-2x})\cdot e^{4x}}$

Multiplique os valores

$\mathsf{y_P=8e^{2x}-4e^{2x}}}\\\\\\ \mathsf{y_P=4e^{2x}}$

Dessa forma, a solução geral desta equação diferencial é:

$\mathsf{y=C_1\cdot e^{3x}+C_2\cdot e^{4x}+4e^{2x},~C_1,~C_2\in\mathbb{R}}}$