Question

È só para os fera ok! Numa progressão aritmética de número par de termos, a soma dos termos de ordem ímpar é 70 e a dos de ordem par é 85. A soma dos extremos é 31. escreva a progressão.

Answer 1

a1 + a3 + a5 + ... +  ... + a2n-1  = 70 (soma dos termos de ordem ímpar). (Equação 1)
a2 + a4 + a6 + ... + ... + a2n = 85 (soma dos termos de ordem par). (Equação 2)

Somando membro a membro as duas igualdades acima, obteremos:
a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ... + a2n-1 + a2n = 70 + 85 = 155 (Equação 3)

Ora, sendo 2n o número de termos da PA,  a soma dos termos do primeiro membro é igual a S2n (soma dos 2n primeiros termos da progressão aritmética). 
Logo, S2n = 155.O problema nos diz que a soma dos extremos vale 31, ou seja: a1 + a2n = 31.

Usando a fórmula da soma dos termos de uma PA, vem:
S2n = [(a1 + a2n).2n] / 2 \ 155 = (31.2n) / 2 \ 155 = 31n e, daí, vem que n = 5 .Subtraindo a equação 1 da equação 2 , obteremos:
(a2 – a1) + (a4 – a3) + (a6 – a5) + ... + (a2n – a2n-1) = 85 – 70 = 15
(a2 – a1) + (a4 – a3) + ... +  ... = 85 - 70 = 15
Como a2 – a1 = a4 – a3 = ... = r = razão da PA , vem:
r + r + r + ... + r = 15
Já sabemos que n = 5 e, portanto, 5 termos iguais a r. Logo, vem:
5r = 15 \ r = 3 ( a razão da PA é igual a 3).
Para escrever a PA. , falta apenas achar o valor do primeiro termo a1.A partir de n = 5, a equação 3 acima pode ser escrita como:
a1 + a2 + a3 + ... + a9 + a10 = 155Como an = a1 + (n-1).r, poderemos escrever a igualdade acima como:
a1 + (a1 + r) + (a1 + 2r) + ... + (a1 + 9r) = 155

E como são 10 termos, vem: (a1 somado 10 vezes):

Answer 2

Resposta: São 08 termos. A sequência é (2 . 6 . 10 . 14 . 18 . 22 . 26 . 30)

Explicação passo a passo:

Sn = Si + Sp

Sn = 56 +72 = 128

a1 + an = 32

Sn = (a1 + an)*n/2

128 = 32*n/2

32*n = 128*2 = 256

n = 256/32

n = 8

an = a1 + (n-1)*r

a1 + an = a1 + a1 + (n-1)*r = 32

2a1 + (8-1)*r = 32

2a1 + 7r = 32

Si = a1 + a3 + a5 + a7 = 56

Si = a1 + a1+2r + a1+4r + a1+6r = 56

4a1 + 12r = 56 (simplificamos por 4, ficando:)

a1 + 3r = 14

Formando sistema entre as equações grifadas, vem:

2a1 + 7r = 32 (i)

_a1 + 3r = 14 (ii)

(i) – (ii):

–2a1 + 7r = –32

–2a1 – 6r = –28

------------------ r = 4

a1 + 3r = 14

a1 + 3*4 = 14

a1 = 14 - 12

a1 = 2

Formando a sequência:  2 . 6 . 10 . 14 . 18 . 22 . 26 . 30