Question

é possível que exista um triângulo equilátero obtusângulo?

Answer 1

Não um lado vai ser sempre maior devido ao angulo obtuso

Answer 2

Não é possível.

Um triângulo equilátero, que etimologicamente significa "lados iguais", tem lados e ângulos sempre iguais - onde esses últimos medem 60° cada.

Para provar que um triângulo equilátero terá seus ângulos sempre iguais a 60°, pode dividir o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos iguais e aplicar trigonometria básica (seno, cosseno e tangente). Em anexo, adicionei uma imagem que vai facilitar na resolução.

Antes de começarmos a calcular, temos que ter em mente:

• Os cálculos a serem feitos serão todos em função do ângulo a;
• Os ângulos a e c, em verde na imagem, têm a mesma medida;
• O cateto adjacente (CA) mede a metade do lado, que chamarei de x;
• A hipotenusa (H) mede x;
• O ângulo b, em azul na imagem, é a metade do ângulo interno do vértice superior.

Levando em consideração o que foi mencionado, vamos aos cálculos, iniciando pelo cosseno.

• O cosseno (cos) de um ângulo a, em triângulo retângulo, é calculado pela razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa. Teremos:

$\mathsf{cos~a=\dfrac{x}{2}\div x=\dfrac{x}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2}}$

Usando uma tabela de ângulos notáveis, teremos que 1/2 é o cosseno de 60°. Justificado.

• O seno de um ângulo a, em triângulo retângulo, é calculado pela razão entre o cateto oposto (CO) e a hipotenusa (H).

Inicialmente, temos que descobrir o valor do cateto oposto. Para isso, podemos usar Teorema de Pitágoras. Teremos:

$\mathsf{H^2=CO^2+CA^2\therefore x^2=co^2+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}\\\\\\ \mathsf{x^2=co^2+\left(\dfrac{x}{2}\right)^2}\\\\\\ \mathsf{-co^2=\dfrac{x^2}{4}-x^2}\\\\\\ \mathsf{-co^2=\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{4x^2}{4}}\\\\\\ \mathsf{-co^2=\dfrac{-3x^2}{4}\therefore co^2=\dfrac{3x^2}{4}}$

$\mathsf{co=\dfrac{\sqrt{3x^2}}{\sqrt{4}}}\\\\\\ \mathsf{co=\dfrac{x\cdot\sqrt3}{2}}$

Tendo o valor do cateto oposto, podemos desenvolver o seno. Teremos:

$\mathsf{sen~a=\dfrac{x\cdot\sqrt3}{2}\div x=\dfrac{x\cdot\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{1}{x}=\dfrac{\sqrt3}{2}}$

Usando uma tabela de ângulos notáveis, teremos que √3/2 é o seno de 60°. Justificado.

• A tangente (tan) de um ângulo a, em triângulo retângulo, é calculado pela razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente Teremos:

$\mathsf{tan~a=\dfrac{x\cdot\sqrt3}{2}\div\dfrac{x}{2}=\dfrac{x\cdot\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{2}{x}=\sqrt3}$

Usando uma tabela de ângulos notáveis, teremos que √3 é a tangente de 60°. Justificado.

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