Question

É possível estimar a área de um círculo de raio unitário (r=1) utilizando polígonos regulares? Sim ou não? porque?

Answer 1

Todo polígono regular é inscritível (pode ser inscrito em uma circunferência). 
No polígono inscrito, temos a distância entre o centro da circunferência e o vértice do polígono igual ao raio da circunferência e a distância entre o centro da circunferência e o meio lado igual ao apótema do polígono. Ao aumentarmos o número de lados do polígono, o raio permanecerá inalterado, mas o apótema estará aumentando. Quanto maior foi o número de lados do polígono, mais o apótema tenderá para o raio. Assim, a circunferência seria o limite externo de um polígono regular e o apótema seria igual ao raio.
Assim, é possível estimar a área do círculo, calculando a área de um polígono nele inscrito. 
A área do polígono é a soma da área de n triângulos isósceles, cujos lados são iguais ao raio da circunferência e cuja altura é o apótema do polígono. Quanto maior n, mais próxima a área do polígono será da área do círculo.

Answer 2

Sim. Esse método é denominado "método da exaustão" e foi utilizado pelos gregos para o cálculo da área do círculo e estimativa do número π.
Podemos começar com um triângulo equilátero. Inscreva-o em uma circunferência. A mediatriz de cada lado encontra com a circunferência e estes pontos são os vértices adicionais para o polígono seguinte, ampliando o triângulo para um hexágono. O processo é repetido sucessivamente e o apótema do novo polígono formado tenderá ao valor do raio.

Cálculo da área: considere o triângulo retângulo formado pelo raio (r = hipotenusa), o apótema (a = cateto) e metade do lado do polígono (L/2 = cateto). A área do triângulo equilátero inscrito será igual a:
A triângulo = 6.(L/2).a.(1/2) = 3La/2

Sabemos que: r² = a² + (L/2)² ⇒ L = 2√(r² - a²)

Logo:
A triângulo = 3La/2 = (3/2).[ 2√(r² - a²)].a = 3a√(r² - a²)

Quando tivermos um hexágono, a área será:
A hexágono = 6a√(r² - a²)

Portanto, quando tivermos um polígono de n lados:
A = na√(r² - a²)

Conforme n aumenta, o apótema a tende a r e o valor do limite da área acima tende à área da circunferência (A = πr²). Como nosso raio é unitário, teremos uma área igual ao valor de π:
A = na√(1 - a²) = π.