Question

É possível calcular a derivada de quase todas as funções usadas em problemas práticos, seja por meio de regras ou fórmulas específicas. Por sua vez, a integração exige métodos mais elaborados e apropriados para cada situação. Também conhecido como integração por substituição, o método de mudança de variável é considerado o inverso da regra da cadeia para derivadas e também tem aplicação prática. Como exemplo, pode-se mencionar seu uso para cálculo de preço a partir de taxa de variação, modelos de ajustes de preço, modelos de depreciação, receita, lucro, oferta, demanda, investimentos, entre outros. Neste Desafio, você aprofundará os conhecimentos sobre o método da integração por substituição a partir de um problema de demanda por sandálias. Acompanhe: Descrição da imagem não disponível Mediante o exposto, e partindo do pressuposto de que o gerente precisa realizar algumas análises para planejar melhor suas próximas compras e o valor cobrado, bem como acompanhar seu estoque, auxilie-o na definição dos seguintes elementos: a) o preço para o qual a demanda por sandálias é de 500 pares; b) o preço acima do qual a demanda é zero; c) a demanda se o preço do par de sandálias for de R$ 90,00.

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que:

• a) $p (5) \approx R \ \: 66,44$;
• b) $p(0) = R\ \: 115,00$;
• c) $x \approx 3\: centenas$.

Explicação:

Temos a seguinte variação:

$\: \:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\boxed{ \frac{dp}{dx} = \frac{ - 300x}{ \sqrt{(x {}^{2} + 9) {}^{3} } }}$

O objetivo é determinarmos valores a partir da função preço associada a esta variação.

• Equação diferencial:

Como queremos a função preço, é necessário integrarmos esta variação de alguma forma.

• Observe que passar o termo dx para o segundo membro para gerar uma equação diferencial.

$\frac{dp}{dx} = \frac{ - 300x}{ \sqrt{(x {}^{2} + 9) {}^{3} } } \: \to \: dp = \frac{ - 300x}{ \sqrt{(x {}^{2} + 9)^{3} } }dx$

Como sabemos a integral de uma diferencial, é basicamente o conteúdo, isto é, a integral de dx é x, integral de dy é y e assim por diante. Portanto vamos integrar ambos os lados desta equação.

$\int dp = \int \frac{ - 300x}{ \sqrt{(x {}^{2} + 9) {}^{3} } } dx \: \to \: p = \int \frac{ - 300x}{ \sqrt{(x {}^{2} + 9) {}^{3} } } dx$

Portanto temos que a função preco é dada como a integral da variação infinitesimal do preço.

• Substituição de variável:

Para solucionar a integral, vamos utilizar o método da substituição de variável.

• Este método é usado quando tem-se uma função e a sua derivada ao mesmo tempo, dentro do integrando.

Certamente a derivada de $x^2$ é $x$, então digamos a função a ser derivada seja $u = x^2+9$.

$u = x {}^{2} + 9 \: \to \: \frac{du}{dx} = 2x \: \to \: \frac{du}{2} = xdx$

Substituindo os dados na integral:

$p = - 300 \int \frac{ xdx}{ \sqrt{(u) {}^{3} } } \: \to \: p = - 300 \int \frac{ \frac{du}{2} }{ \sqrt{u {}^{3} } } \\ \\ p = - 150 \int \frac{du}{u {}^{ \frac{3}{2} } } \: \to \: p = - 150 \int u {}^{ - \frac{3}{2} } \: du$

Aplicando a regra da potência das integrais:

$p = - 150. \left[ \frac{u {}^{ - \frac{3}{2} + 1} }{ - \frac{3}{2} + 1 } \right] \: \: \to \: \: p = - 150. \left[ \frac{u {}^{ - \frac{1}{2}} }{ - \frac{1}{2} } \right] \\ \\ p = - 150. \left( \frac{ - 2}{u {}^{ \frac{ 1}{2} } } \right) \: \to \: p = \frac{300}{ \sqrt{x {}^{2} + 9} } + C, C\in\mathbb{R}$

• Problema do valor inicial:

Temos um P.V.I. quando uma condição nos é fornecida. Como você pode observar, no enunciado da imagem, é dito que quando preço do par é 75,00, são demandadas 400 unidades (x = 4), ou seja, como o preço é uma função de x, podemos consolidar que $\bf p(4) = 75$.

Vamos substituir esta informação na função determinada logo acima, para que possamos determinar a solução particular.

$p(x)= \frac{300}{ \sqrt{x {}^{2} + 9} } + C \: \to \: p(4) = 75 \\ \\ 75 = \frac{300}{ \sqrt{4 {}^{2} + 9} } + C \: \to \: 75 = \frac{300}{ \sqrt{16 + 9} } + C \\ \\ 75 = \frac{300}{ \sqrt{25} } + C \: \to \: \: 75 = \frac{300}{5} + C \\ \\ 75 = 60+ C \: \to \: \boxed{ C = 15}$

Portanto a solução particular, vulgo função preço, é dada pela seguinte relação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: p(x) = \frac{300}{ \sqrt{x {}^{2} + 9} } + 15$

________________________________

Tendo encontrado a função p(x), vamos iniciar os cálculos de cada um dos itens requeridos.

• a) O preço para o qual a demanda por sandálias é de 500 pares;

Como a demanda (x) é dada em centenas, então 500 pares são denotados por x = 5. Logo, devemos buscar o valor de p(x), quando x = 5.

$p(5) = \frac{300}{ \sqrt{5 {}^{2} + 9 } } + 15 \: \to \: \: p(5) = \frac{300}{ \sqrt{34} } + 15 \\ \\ \boxed{\bf p (5) \approx R \ \: 66,44}$

• b) o preço acima do qual a demanda é zero;

A demanda igual a zero, quer dizer x = 0. Logo:

$p(0) = \frac{300}{ \sqrt{0 {}^{2} + 9 } } + 15 \: \to \: p(0) = \frac{300}{ \sqrt{9} } + 15 \\ \\ p(0) = \frac{300}{3} + 15 \: \to \: \: p(0) = 100 + 15 \\ \\ \boxed{\bf p(0) =R \ 115,00}$

• c) a demanda se o preço do par de sandálias for de R$ 90,00.

Desta vez, devemos encontrar o valor de x, quando p(x) = 90,00. Então:

$90 = \frac{300}{ \sqrt{x {}^{2} + 9} } + 15 \: \to \: \: 90 - 15 = \frac{300}{ \sqrt{x {}^{2} + 9 } } \\ \\ 75 = \frac{300}{ \sqrt{x {}^{2} + 9} } \: \to \: \sqrt{x {}^{2} + 9 } = \frac{300}{75} \\ \\ \sqrt{x {}^{2} + 9 } = 4 \: \: \to \: \: x {}^{2} + 9 = 16 \\ \\ x {}^{2} = 16 - 9 \: \: \to \: \: x {}^{2} = 7 \\ \\ x = \sqrt{7} \: \to \: \boxed{\bf x \approx 3 \: centenas}$

Espero ter ajudado.

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