Question

e) A projeção de u na direção de v
u(2, -1, 2)
v(5, 5, -2)

Answer 1

Considere os vetores $\vec{u} = (2,-1,2)$ e $\vec{v} = (5,5,-2)$.

Por definição, a projeção de $\vec{u}$ na direção de $\vec{v}$ é:

$\textrm{proj}_{\vec{v}}\;\vec{u} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\vec{v}.$

Vejamos primeiro por que motivo a definição acima faz sentido. Para tal, notamos que $\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2$ e ainda que:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta,$

sendo $\theta$ o ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$. Assim, podemos escrever:

$\textrm{proj}_{\vec{v}}\;\vec{u} = \dfrac{ |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta}{|\vec{v}|^2}\vec{v} = |\vec{u}|\cos\theta\dfrac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = |\vec{u}|\cos\theta\hat{v},$

onde $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ é um vetor unitário na direção de $\vec{v}$.

Concluímos assim que a projeção tem comprimento $|\vec{u}|\cos\theta$, como é possível notar na figura em anexo e a direção de $\vec{v}$ (dada pelo versor $\hat{v}$), tal como desejado.

Calculamos agora os produtos internos:

• $\vec{u}\cdot\vec{v} = (2,-1,2) \cdot (5,5,-2) = 2 \times 5 -1 \times 5 + 2 \times (-2) = 10 -5 -4 = 1.$
• $\vec{v}\cdot\vec{v} = (5,5,-2) \cdot (5,5,-2) = 5 \times 5 +5 \times 5 + (-2) \times (-2) = 25+25+4 = 54.$

A projeção é então:

$\textrm{proj}_{\vec{v}}\;\vec{u} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\vec{v}\cdot\vec{v}}\vec{v} = \dfrac{1}{54}(5,5,-2) = \left(\dfrac{5}{54},\dfrac{5}{54},-\dfrac{2}{54}\right) = \left(\dfrac{5}{54},\dfrac{5}{54},-\dfrac{1}{27}\right).$

Answer 2

$( \frac{u.v}{v.v} ).v \\ ( \frac{2.5 - 1.5 + 2.( - 2)}{5.5 + 5.5 - 2.( - 2)} ).(5, 5, -2)) \\ (\frac{10 - 5 - 4}{25 + 25 + 4} )(5, 5, -2)$

$\frac{1}{54}.(5, 5, -2) = ( \frac{5}{54} , \frac{5}{54}, - \frac{1}{27})$