Question

dx/√(x² + 3)³ Calcule a integral

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\dfrac{x}{3\sqrt{x^2+3}}+C,~C\in\mathbb{R}}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos a seguinte integral, devemos no relembrar de algumas propriedades de substituição trigonométrica.

Seja a integral:

$\displaystyle{\int \dfrac{dx}{\sqrt{(x^2+3)^3}}$

Faça uma substituição $x=\sqrt{3}\cdot \tan(\theta)$. Diferenciando ambos os lados, encontraremos o diferencial $dx$:

$x'=(\sqrt{3}\cdot\tan(\theta))'$

Para diferenciar esta função, lembre-se que:

• A derivada do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto da constante e a derivada da função: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada da função tangente é o quadrado da função secante.

Assim, teremos:

$dx=\sqrt{3}\cdot \sec^2(\theta)\,d\theta$

Substituindo estas informações na integral, teremos:

$\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sec^2(\theta)\,d\theta}{\sqrt{((\sqrt{3}\cdot\tan(\theta))^2+3)^3}}\cdo$

Calcule a potência

$\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sec^2(\theta)\,d\theta}{\sqrt{(3\tan^2(\theta)+3)^3}}$

Fatore a expressão no radicando: $3\tan^2(\theta)+3=3\cdot(\tan^2(\theta)+1)$

$\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sec^2(\theta)\,d\theta}{\sqrt{(3\cdot(\tan^2(\theta)+1))^3}}$

Sabendo que $\tan^2(\theta)+1=\sec^2(\theta)$, temos

$\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sec^2(\theta)\,d\theta}{\sqrt{(3\sec^2\theta)^3}}$

Sabendo que $\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m$, temos

$\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sec^2(\theta)\,d\theta}{(\sqrt{3\sec^2\theta)})^3}$

Calcule o radical

$\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sec^2(\theta)\,d\theta}{(\sqrt{3}\cdot\sec(\theta))^3}$

Calcule a potência, sabendo que $\sqrt{a}^3=a\sqrt{a},~\forall{a}\geq0$

$\displaystyle{\int \dfrac{\sqrt{3}\cdot\sec^2(\theta)\,d\theta}{3\sqrt{3}\cdot\sec^3(\theta)}$

Simplifique a fração

$\displaystyle{\int \dfrac{d\theta}{3\sec(\theta)}$

Sabendo que $\sec(\theta)=\dfrac{1}{\cos(\theta)}$, calcule a fração de frações

$\displaystyle{\int \dfrac{\cos(\theta)\,d\theta}{3}$

Lembre-se que:

• A integral do produto entre uma constante e uma função é igual ao produto entre a constante e a integral da função:$\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot \int f(x)\,dx$.
• A integral da função cosseno é igual a função seno: $\displaystyle{\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C$.

Aplicando a propriedade da constante, teremos

$\dfrac{1}{3}\cdot\displaystyle{\int \cos(\theta)\,d\theta$

Calcule a integral

$\dfrac{1}{3}\cdot(\sin(\theta)+C_1)$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\dfrac{\sin(\theta)}{3}+\dfrac{C_1}{3}$

Considerando $\dfrac{C_1}{3}=C$, temos

$\dfrac{\sin(\theta)}{3}+C$

Então, desfaça a substituição. Para isso, veja a imagem em anexo: considerando um triângulo retângulo cuja tangente do ângulo $\theta$ seja igual a $\dfrac{x}{\sqrt{3}}$, seu seno será igual a $\dfrac{x^2}{\sqrt{x^2+3}}$.

Assim, teremos:

$\dfrac{x}{3\sqrt{x^2+3}}+C,~C\in\mathbb{R}$

Este é o resultado desta integral.

Answer 2

$\displaystyle\sf\dfrac{dx}{(\sqrt{x^2+3})^3}~dx\\\underline{\rm fac_{\!\!,}a}\\\sf x=\sqrt{3}tg(\theta)\longrightarrow dx=\sqrt{3}sec^2(\theta)d\theta \\\sf\sqrt{x^2+3}=\sqrt{3tg^2(\theta)+3}=\sqrt{3\cdot(tg^2(\theta)+1)}=\sqrt{3sec^2(\theta)} =\sqrt{3}sec(\theta)\\\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{(\sqrt{x^2+3})^3}=\int\dfrac{\sqrt{3}sec^2(\theta)d\theta}{(\sqrt{3}sec(\theta))^3}\\\displaystyle\sf\int\dfrac{\diagdown\!\!\!\sqrt{3}\diagup\!\!\!\!\!sec^2(\theta)d\theta}{3\diagdown\!\!\!\sqrt{3}\diagup\!\!\!\!\!\!sec^3(\theta)}=\dfrac{1}{3}\int cos(\theta)~d\theta=\dfrac{1}{3}sen(\theta)+k\\\sf sen(\theta)=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+3}}\\\displaystyle\sf\int\dfrac{dx}{(\sqrt{x^2+3})^3}=\dfrac{x}{3\sqrt{x^2+3}}+k$