Question

Dúvida sobre resolução de limites.

Alguem sabe responder esse limite ?
Lim |x +7| / x + 7
x → −7

Answer 1

Temos o seguinte limite:

$\green \bullet\sf \lim _{x \rightarrow - 7} \frac{ |x + 7| }{x + 7} \green \bullet$

Pelo motivo de haver um módulo nesse limite, teremos que analisar os limites laterais e assim encontrar o valor desse limite.

• Teremos que analisar esses dois limites:

$\pink\bullet\sf \lim _{x \rightarrow - 7 {}^{ + } } \frac{ |x + 7| }{x + 7} \pink \bullet\\ \\ \purple\bullet\sf \lim _{x \rightarrow - 7 {}^{ - } } \frac{ |x + 7| }{x + 7} \purple \bullet$

Vamos começar com a definição algébrica de módulo que diz:

$\sf |x| \rightarrow \begin{cases} \sf x , \: \: se \: \: x \geqslant 0 \\ \sf - x, \: \: se \: x < 0\end{cases}$

Aplicando essa mesma definição no módulo que possuímos, teremos que:

$\sf |x + 7| \rightarrow \begin{cases} \sf x + 7, \: \: se \: x + 7 \geqslant 0 \therefore x \geqslant - 7 \\ \sf - (x + 7), \: \: se \: x + 7 < 0 \therefore x < - 7 \end{cases}$

Tendo feito essa interpretação, o cálculo ficará muito mais fácil.

• Analisando o limite tendendo pela direta, teremos que:

Como esse limite tende a direta, quer dizer então que estamos tendendo por valores maiores que "7", ou seja, se deparamos que a primeira restrição que fizemos, portanto no local o módulo colocaremos apenas (x + 7).

$\purple \bullet \sf \sf \lim _{x \rightarrow - 7 {}^{ + } } \frac{ |x + 7| }{x + 7} \purple\bullet \\ \\ \sf \frac{x + 7}{x + 7} = 1$

• Analisando o limite tendo pena esquerda teremos que:

Como esse limite tende pela esquerda, quer dizer então que estamos tendendo por valores menores que "7", ou seja, se deparamos com a segunda restrição que fizemos, portanto no local do módulo coloque -(x+7).

$\pink \bullet \sf \sf \lim _{x \rightarrow - 7 {}^{ - } } \frac{ |x + 7| }{x + 7} \pink \bullet \\ \\ \sf \frac{ - (x + 7)}{ x + 7} = \frac{ - 1.( \cancel{x + 7)}}{ \cancel{x + 7}} = - 1$

• Com esses cálculos podemos concluir então que como os limites laterais são diferentes o limite bilateral não existe.

$\sf \begin{cases} \purple\bullet\sf \lim _{x \rightarrow - 7 {}^{ + } } \frac{ |x + 7| }{x + 7} = 1 \purple \bullet \\ \\ \pink\bullet\sf \lim _{x \rightarrow - 7 {}^{ - } } \frac{ |x + 7| }{x + 7} = - 1 \pink \bullet\end{cases} \Longrightarrow \red{ \nexists \green\bullet\sf \lim _{x \rightarrow - 7} \frac{ |x + 7| }{x + 7} \green \bullet}$

Espero ter ajudado