Question

Durante uma partida de futebol um jogador chuta uma bola e sem querer acertou a lâmpada de um refletor de 9m de altura estava próximo ao campo a distância do local do chute a base do refletor é de 30 m sabendo que a bola atingiu a lâmpada no ponto mais alto da trajetória a qual pode ser considerada parabólica determine sua equação

Answer 1

Utilizando construção de funções de segundo grau e considerando a origem das coordenadas como sendo o local onde a bola foi inicialmente chutada, temos que a nossa função seria: $f(x)=-\frac{1}{100}x^2+\frac{3}{5}x$

Explicação passo-a-passo:

Toda função de segundo grau pode ser escrita de duas formas:

$f(x)=a.x^2+b.x+c$

Ou

$f(x)=a.(x-x_1)(x-x_2)$

Vamos utilizar a segunda forma, pois esta destacada as duas raízes da equação, x1 e x2.

Vamos considerar que o lugar onde a pessoa chutou a bola é o ponto (0,0), então se o meio da parabola fica exatamente a 30 metros dele (a distancia até a base do refletor), então a bola volta ao chão depois de percorrer mais 30 metros, ou seja, as duas raízes destas equação são onde esta está no chão, em (0,0) e (60,0).

Assim sabemos que x1 = 0 e x2 = 60, Com isso podemos substituir na equação:

$f(x)=a.x(x-60)$

Agora sabemos que quando x é igual a 30, ou seja, quando a função está no meio da parabola, o valor da função é igual a 9, que é a altura, assim basta substituirmos x por 30 e f(x) por 9 e descobriremos o valor de "a":

$9=a.30.(30-60)$

$9=a.30.(-30)$

$9=-900a$

$a=-\frac{1}{100}$

Assim temos que nossa função é:

$f(x)=-\frac{1}{100}.x(x-60)$

Agora basta fazermos a distributiva para termos a função no modo extensivo:

$f(x)=-\frac{1}{100}.x(x-60)$

$f(x)=-\frac{1}{100}.(x^2-60x)$

$f(x)=-\frac{1}{100}x^2+\frac{3}{5}x$

Assim temos que esta função é $f(x)=-\frac{1}{100}x^2+\frac{3}{5}x$.

OBS: Note que o resultado desta função pode variar, pois eu escolhi o centro das coordenadas como sendo o lugar onde a pessoa chutou a bola, se eu tivesse escolhido o centro das coordenadas como sendo exatamente no centro da parabola a resposta seria diferente, porém equivalente a esta sob uma translação de coordenadas.