Question

Durante um forte temporal que assolouuma região ribeirinha do Estado, um açaizeiro foi partido por um raio. Na 
quebra, parte do tronco se manteve perpendicular e a parte tombada formou com o solo um ângulo α . Sendo a 
distância da base do açaizeiro ao seu topo 4,5 m (medida da base do triangulo) e sen(α)= ,4/5 qual a altura total do açaizeiro? 

Answer 1

Esqueci de colocar como era a árvore antes do raio, mas tá aí como ela ficou depois, só pra ilustrar.

Vamos chamar a medida do açaizeiro que ficou de pé de T e a parte que caiu de C. Quando o açaizeiro estava "completo", antes da tempestade, a altura dele era T+C, portanto temos que encontrar a medida de T e C e somá-los pra encontrar a resposta.

É dito na questão que senα = 4/5 e, a partir disso, encontramos que:

$\mathrm{sen}^2\alpha+\cos^2\alpha=1\Rightarrow \left(\frac{4}{5}\right)^2+\cos^2\alpha=1\Rightarrow\frac{16}{25}+\cos^2\alpha=1\Rightarrow \\ \\ \cos^2\alpha=\frac{9}{25}\Rightarrow \boxed{\cos\alpha=\frac{3}{5}}$

Agora que temos o cosα podemos calcular o valor de C:

$\cos\alpha = \frac{4,5}{C}\Rightarrow \frac{3}{5}=\frac{4,5}{C}\Rightarrow \boxed{C=7,5 \ \mathrm{m}}$

E usando o senα calculamos T:

$\mathrm{sen}\alpha=\frac{T}{C}\Rightarrow \frac{4}{5}=\frac{T}{7,5}\Rightarrow \boxed{T=6 \ \mathrm{m}}$

Agora é só somar e ver qual a altura h da árvore antes do raio:

$h=T+C=6+7,5 \Rightarrow \boxed{\boxed{h=13,5 \ \mathrm{m}}}$