Durante suas férias 8 amigos dos quais dois são canhotos decidem realizar um torneio de vôlei de praia eles precisam forma quatro duplas para a realização do torneio. Nenhuma dupla pode ser formada por dois jogadores canhotos .
de quantas maneiras diferentes pode ser formado essas quatro duplas?
a) 69
b) 70
c) 90
d) 104
e) 105
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
O problema pode ser resolvido usando o princípio multiplicativo. Inicialmente, vamos considerar a formação da primeira dupla, ou seja, o primeiro jogador pode escolher seu parceiro de 7 maneiras distintas. Já o segundo, de 5 maneiras distintas. Enquanto que o terceiro de 3 maneiras diferentes e o quarto de apenas uma maneira.
Aplicando o princípio multiplicativo temos que, sem restrição, as quatros duplas podem ser formadas por:
7x5x3x1 = 105 maneiras distintas.
Por outro lado, nessas 105 opções encontram-se formações em que os dois canhotos estão formando dupla. Basta então descobrir em quantas destas formações isso acontece. Nesse caso, é só considerar a formação das duplas fixando a dupla de canhotos. Temos que descobrir quantas formações são possíveis para as outras 3 duplas.
Seguindo o mesmo raciocínio anterior, temos que o primeiro dos 6 pode escolher seu parceiro de 5 maneiras diferentes, o segundo de 3 maneiras diferentes e o terceiro de uma maneira, logo, existem
5x3x1 = 15 formações em que os canhotos estão na mesma dupla.
Portanto, a resposta final é
105 - 15 = 90
A quantidade de maneiras diferentes para formar essas quatro duplas é 90.
O princípio fundamental da contagem diz que a quantidade de maneiras distintas que um evento dividido em n etapas pode acontecer é dado pelo produto de possibilidades em cada etapa.
Aplicando o princípio acima, temos que o primeiro jogador pode escolher qualquer um dos sete amigos para fazer dupla. Já o segundo pode escolher entre cinco amigos, o terceiro pode escolher entre três amigos e o último tem apenas uma opção, assim, a quantidade de maneiras distintas é:
7 . 5 . 3 . 1 = 105
Como não pode haver duplas com dois canhotos, vamos contar quantas combinações isso acontece e subtrair do total acima. Fixando a dupla de canhotos, sobram seis amigos: o primeiro pode escolher entre cinco, o segundo entre três e o terceiro entre um, dessa forma:
5 . 3 . 1 = 15
O total de maneiras para formar as quatro duplas será 105 - 15 = 90.
Resposta: C
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