Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2X • 5y • 7z, na qual x , y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7.O número de divisores de N, diferentes de N, é *
1/1
a) x . y . z
b) (x+ 1 ) . (y + 1 )
c) x . y . z - 1
d) (x + 1 ) • ( y + 1 ) • z
e) ( x + 1 ) ( y + 1 ) • ( z + 1 ) - 1
Resposta correta alternativa E
Soluções para a tarefa
Resposta:
E
Explicação passo-a-passo:
Imaginem um número N = 2x⋅5y⋅7z , a questão não está interessada em calcular x, y e z. Queremos calcular o número de divisores e como fazer isso?
Vamos pensar no que acontece em casos mais simples
Ex:
4 = 2², e seus divisores são 1, 2 e 4
8 = 2³, e seus divisores são 1, 2, 4 e 8
Será que somos capazes de generalizar para 2x?
2² tem expoente 2 e possui 3 divisores ou 2+1
2³tem expoente 3 e possui 4 divisores ou 3+1
2x tem expoente x e possui x+1 divisores!!
Espero que esteja claro até aqui vamos seguir com mais exemplos
6 = 2¹.3¹, seus divisores são 1, 2, 3, 6
36 = 4 . 9 = 2².3², seus divisores são 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Perceba que podemos expandir a ideia de que o numero de divisores é dado pelo (expoente do primo) + 1.
voltando para o 6, o expoente do 2 é 1 e do 3 também é 1. Possui 4 divisores ou (1(expoente do 2)+1) x (1(expoente do 3)+1) = 2 x 2 =4
36, o expoente do 2 é 2 e do 3 também é 2. Possui 9 divisores ou (2(expoente do 2)+1) x (2(expoente do 3)+1) = 3 x 3 = 9
Considere agora um numero da forma 2x 3y o número de divisores é dado por (x+1)(y+1)!!!
Agora podemos pensar no problema N é dado por 2x⋅5y⋅7z então seus divisores são (x+1)⋅(y+1)⋅(z+1). E agora que não tem essa alternativa? uma informação importante na questão "O número de divisores de N, diferentes de N" para fazer isso devemos subtrair 1 ficamos com
(x+1)(y+1)(z+1)-1