Question

Duas pessoas estão puxando um objeto de 50 kg de massa: a primeira para o norte, com uma força de 3N e a segunda para o leste, com uma força de 4 N. A aceleração adquirida pelo objeto é:

a) 10
b) 12
c) 8
d) 7
e) 6​

Answer 1

O exercício nos pede conhecimentos sobre soma de vetores e seu módulo e noções sobre a segunda lei de newton.

Vetores:

Vetores são entes matemáticos úteis, pois dão um sentido além dos números reais, adicionam a noção de sentido e direção, eles literalmente apontam para um sentido, e é isso que as forças fazem, Força, no sentido clássico é uma grandeza vetorial, pois necessita de sentido.

Operação com vetores.

No 2D, representamos vetores como pares ordenados (x, y), que representarão o ponto onde a final do vetor apontaria no plano cartesiano, e sua outra extremidade na origem do plano (0, 0).

Somar vetores, como

$\vec{v} = (x_1, y_1)\\\vec{u} = (x_2, y_2)$

é somar cada x e cada y separadamente:

$\vec{v}+\vec{u} = (x_1,y_1)+(x_2, y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)$

A norma, ou módulo de um vetor é, literalmente o tamanho dele no plano. Perceba que o comprimento do vetor, nada mais é que a hipotenusa de um triângulo retângulo com os segmentos de reta de 0 até x e 0 até y nos eixos, portanto, a norma do vetor será:

$\vec{v} = (x, y)$

$\|\vec{v}\| = \sqrt{x^2+y^2}$

As duas barras indicam módulo.

2ª Lei de Newton:

A segunda lei de Newton é a lei fundamental do dinâmica clássica, ela diz que uma força aplicada a um corpo causa mudança em seu momento, a descrição clássica de força é dada por:

$\vec{F} = \dfrac{d(\vec{p})}{dt}$

Mas para corpos que mantêm massa constante, a 2ª lei é enunciada a famosa:

$\vec{F} = m\vec{a}$

Onde m é a massa do corpo e a é a aceleração

Vamos para o exercício. Existem 2 forças representadas pelos seguintes vetores:

OBS: Norte é o y positivo no plano e Leste, o x positivo.

$\vec{F_1} = (0, 3)$

$\vec{F_2} = (4, 0)$

A força total, resultante, no sistema é dada pela soma vetorial das forças, portanto:

$\vec{F} = \vec{F_1}+\vec{F_2} = (0,3)+(4,0) = (4,3)$

Sabemos o vetor F, agora aplicaremos a segunda lei:

$\vec{F} = m\vec{a}$

$(4,3) = 50\vec{a}$

$\therefore \vec{a} = \dfrac{1}{50}(4,3)$

$\vec{a} = \left( \dfrac{4}{50}, \dfrac{3}{50}\right)$

Agora, temos tomaremos a norma de a:

$\|\vec{a}\| = \sqrt{(\frac{4}{50})^2+(\frac{3}{50})^2} = \dfrac{1}{50}\sqrt{4^2+3^2} = \dfrac{1}{50}\sqrt{16+9} = \dfrac{\sqrt{25}}{50}=\dfrac{5}{50}$

Portanto, a aceleração do objeto é de 0.1 m/s²