Question

Duas pessoas combinaram de se encontrar entre 13h e 14h,no exato instante em que o ponteiro dos minutos do relógio coincidisse com o ponteiro das horas. Dessa forma o encontro foi marcado para 13h e quantos minutos?

Answer 1

O encontro foi marcado para as 13 horas e $5\frac{5}{11}$ minutos.

Para melhor ajudá-lo eu fiz um desenho do relógio no momento do encontro, ele está anexado aqui.

Como a questão nos diz que o encontro será entre as 13h e as 14h, iremos considerar que o horário do encontro vai ser as 13h e x min.

Para determinar o ângulo α que o ponteiro da hora se deslocou nesses x minutos faremos uma regra de três. Assim:

ponteiro das horas (graus) ------- ponteiro dos minutos (minutos)

30º   -------  60  min

 α º    --------   x  min

Logo:

α = xº/2

Como cada minuto representa um deslocamento de 360º /60º = 6º  no ponteiro dos minutos, o ângulo β da figura é 6xº.

Desta forma:

β = 30º + α

6xº = 30º +  xº/2

x = $5\frac{5}{11}$ min

Espero ter ajudado, bons estudos!

Answer 2

$\large \text {\sf O encontro foi marcado para 13h e \sf 5\dfrac {5}{11} \ min. }$

• O ponteiro dos minutos gira 360° a cada 60 minutos. Determine sua velocidade angular $\large \sf \omega_M$.
• $\large \sf \omega_M = \dfrac{360 \textdegree }{60\ min} = 6 \textdegree/min$
• O ponteiro das horas gira 360° a cada 12 horas. Determine sua velocidade angular $\large \sf \omega_H$.

$\large \sf \omega_H = \dfrac{360 \textdegree }{12\ h} = 30 \textdegree/h$  ⟹ Converta para grau por minuto.

$\large \sf \omega_H = \dfrac{30 \textdegree }{60\ min} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{ \textdegree/h}$

• Se cada ponteiro se desloca um certo ângulo a cada minuto então sua posição angular (θ) pode ser obtida pelo produto de sua velocidade angular (ω) pelo tempo (t) decorrido, somado à sua posição inicial (θ₀).

θ = θ₀ + ω·t

• Determine a equação do deslocamento angular para cada ponteiro. Para isso considere a posição inicial (0°) na posição 12 do relógio.
• Observe que no instante inicial 13h, o ponteiro dos minutos está no 12 (0°) e o ponteiro das horas esta no 1 (30°, pois 1/12 de 360° é igual a 30°)

• Para o ponteiro dos minutos:

$\large \text { \sf \theta_M = \theta_{0_{M}} + \omega_M \cdot t }$

$\large \sf \theta_M = 0 + 6 \cdot t$

$\large \sf \theta_M = 6 \cdot t$ ①

• Para o ponteiro das horas.

$\large \sf \theta_H = \theta_{0_H} + \omega_H \cdot t$

$\large \sf \theta_H = 30 + \dfrac {1}{2} \cdot t$ ②

• No exato instante em que o ponteiro dos minutos do relógio coincide com o ponteiro das horas $\large \sf \theta_M = \theta_H$, portanto iguale o segundo membros das equações ① e ② e determine t, lembrando que se a unidade de medida da velocidade está em °/min então o tempo será obtido em minutos.

$\large \sf 6 \cdot t = 30 + \dfrac {1}{2} \cdot t$  ⟹ Multiplique ambos os membros por 2.

12⋅t = 60 + t ⟹ Subtraia t de ambos os membros.

11⋅t = 60 ⟹ Divida ambos os membros por 11.

$\large \sf t = \dfrac{60}{11} = \dfrac {55 + 5}{11} = \dfrac {55}{11} + \dfrac {5}{11}$

$\large \sf t = 5 + \dfrac {5}{11} = 5\dfrac {5}{11} \ min$

$\large \text {\sf O encontro foi marcado para 13h e \sf 5\dfrac {5}{11} \ min. }$

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