Question

Duas partículas, de massa M₁ = m e M₂ = m/2, estão presas por uma haste de comprimento L = 48 cm e massa desprezível, conforme a figura. Qual é a distância, em centímetros, do centro de massa do sistema em relação à posição da partícula de massa M₁?

Answer 1

Os termos "centro de massa" e "centro de gravidade" são usados como sinônimos em um campo gravitacional uniforme para representar o ponto único de um objeto ou sistema que pode ser usado para descrever a resposta do sistema a forças e torques externos. O conceito de centro de massa é o de uma média das massas, fatorada por suas distâncias de um ponto de referência. Em um plano, é como o ponto de equilíbrio ou pivô de uma gangorra em relação aos torques produzidos

O centro de massa de um grupo de massas pode ser calculado pegando cada uma delas e multiplicando-as por sua posição, somando-as e dividindo essa soma pela soma de todas as massas individuais, ou seja, a massa total.

$\begin{array}{ccc}&\overline{x}= \dfrac{ \displaystyle\sum^{n}_{i=1}m_i\cdot x_i}{\displaystyle\sum^{n}_{i=1} m_i} &\end{array}$

Levamos em consideração o centro de massa nas componentes em x, pois é uma linha horizontal. Como a massa da partícula M₁ é maior que a massa da partícula M₂, o centro de massa seria tirado da partícula M₁, pois a massa dessa partícula é muito maior que a da partícula M₂ sabendo que a distância entre essas duas partículas é igual a 48 cm podemos encontrar os respectivos valores de x₁ e x₂. Como o centro de massa pertence à partícula M₁, o valor de x₁ seria igual a 0 cm (centímetros) e agora por pura lógica o valor de x₂ é igual à mesma distância que separa as duas partículas, ou seja, 48 cm (centímetros).

Agora, antes de usarmos nossa equação para responder a este problema, vamos escrever nossos dados.

$\begin{cases}\sf m_1=m\\\sf m_2=m/2\\ \sf x_1=0~cm\\\sf x_2=48~cm\end{cases}$

Substituindo nossos dados em nossa equação, temos que o centro de massa entre essas duas partículas pode ser calculado como:

$\overline{x}=\dfrac{\overbrace{\cancel{m_1\cdot x_1}}^{0}+m_1\cdot x_2}{m_1+m_2}\\\\\\ \overline{x}=\dfrac{m_2\cdot x_2}{m_1+m_2}\\\\\\ \overline{x}=\dfrac{\dfrac{m}{\cancel{2}}\cdot\cancel{48}}{m+\dfrac{m}{2}}\\\\\\ \overline{x}=\dfrac{24m}{\dfrac{2m}{2}+\dfrac{m}{2}}\\\\\\ \overline{x}=\dfrac{24m}{\dfrac{3m}{2}}$

Usando a propriedade da divisão de frações (preserva a primeira e multiplica a inversa da segunda) se fizermos isso, obtém-se a seguinte expressão:

$\overline{x}=\cancel{24m}\cdot \dfrac{2}{\cancel{3m}}\\\\\\ \boxed{\therefore ~\overline{x}=16~cm}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{Resposta}$

Bons estudos e espero que te ajude :-)

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