Question

Duas montanhas têm alturas 600 m e 400 m em relação a um terreno plano e horizontal, sendo A e B os “centros” das bases; e D t E seus topos, conforme figura.Sobre um ponto C do segmento AB, será construído urn posto^de observação da guarda florestal, tal queCD = CE e_m(DCE) = 90°. Calcule as medidas dos segmentos CA e CB.

Answer 1

Vamos usar a trigonometria para resolver.

Temos que o posto de observação será construído em um ponto C da reta AB de modo que o ângulo DCE seja igual a 90º.
Os segmentos ADC e BEC formam dois triângulos retângulos com hipotenusas iguais. Os ângulos ACD, BCE e DCE formam um ângulo de 180º. Como DCE = 90º, temos que ACD e BCE são complementares:
ACD + BCE = 90º

O seno e o cosseno tem as seguintes relações trigonométricas:
$sen(x) = \frac{cateto \hspace3 oposto}{hipotenusa}$
$cos(x) = \frac{cateto \hspace3 adjacente}{hipotenusa}$

O seno do ângulo ACD é igual ao cosseno do ângulo BCE, pois BCE = 90 - ACD, e temos a relação trigonométrica:
$sen(x) = cos(90-x)$

Com esses dados, e sabendo que as hipotenusas devem ser iguais (DC=CE), podemos encontrar o seguimento CB utilizando a fórmula:
$sen(ACD) = cos(90-BCD) \\ \dfrac{600}{DC} = \dfrac{CB}{CE} \\ \\ CB = 600m$

Utilizando o mesmo raciocínio para calcular CA:
$sen(BCE) = cos(90-ACD) \\ \dfrac{400}{CE} = \dfrac{CA}{DC} \\ \\ CA = 400m$