Duas máquinas, trabalhando juntas, terminam um serviço em 6 horas sem interrupção. Uma delas realiza esse serviço, sozinha e também sem interrupção, gastando 5 horas a mais do que a outra. A produção de cada uma dessas máquinas, por unidade de tempo, é constante.
O tempo gasto pela máquina que demora mais para realizar esse serviço sozinha é
5 horas.
8 horas.
10 horas.
11 horas.
15 horas.
Soluções para a tarefa
15 horas é o tempo que a máquina que demora mais levará para realizar o serviço.
Como calcular o tempo utilizando equações fracionárias
Primeiramente devemos ter em mente que se tratam de grandezas inversamente proporcionais. Para resolver, iremos montar equações fracionarias, ou seja, utilizaremos frações onde a variável está no denominador. Observe abaixo:
1/6 = 1/t + 1/(t+5), onde t representa o tempo de uma máquina e (t+5) representa o tempo da máquina que leva 5 horas a mais; as variáveis estão sob 1 (numerador) pois estamos considerando o serviço desempenhado por hora por cada máquina
Agora, para resolvermos esta equação precisamos primeiro calcular o MMC entre as frações da soma. Ficará assim:
t, (t+5) | t
1, (t+5) | (t+5)
1, 1
Assim, multiplicando os valores a direita descobrimos que o MMC das frações é t × (t+5). Agora devemos realizar a divisão do MMC pelos denominadores originais para obter os novos numeradores. Observe:
t × (t+5) ÷ t = (t+5); (t+5) × 1 = (t+5)
t × (t+5) ÷ (t+5) = t; t × 1 = t
Assim, os valores obtidos acima se referem aos novos numeradores. Agora temos o seguinte:
1/6 = (t + 5 + t)/[t(t+5)]
1/6 = (2t + 5)/[t(t+5)]
Aqui realizaremos a multiplicação cruzada dos termos das frações, obtendo o seguinte:
t(t + 5) = 6(2t + 5), aqui aplicamos multiplicação distributiva
t² + 5t = 12t + 30
t² - 7t - 30 = 0
Assim, obtemos uma equação de segundo grau. Para resolvê-la precisamos recorrer a fórmula de Bhaskara, que é a seguinte:
t = (-b ± √Δ)2a
Δ = b² - 4ac
Temos os seguintes valores:
a = 1
b = -7
c = -30
Resolvendo nossa equação, começando pelo valor do Δ:
Δ = (-7)² - 4 × 1 × (-30)
Δ = 49 + 120
Δ = 169
Agora calcularemos o valor de t:
t = [-(-7) ± √169]/2 × 1
t = (7 ± 13)/2
t' = (7 + 13)/2
t' = 20/2
t' = 10
t" = -6/2
t" = - 3
O valor do t" deve ser desconsiderado por ser um valor negativo, pois estamos falando de tempo e o tempo deve ser um valor positivo. Assim, descobrimos que o valor de t é 10, ou seja, 10 horas é o tempo que a máquina mais rápida realiza o serviço. Para descobrirmos quanto tempo leva a máquina que demora mais, basta somarmos 5 a este valor. Logo:
10 + 5 = 15
Assim, descobrimos que 15 horas é o tempo que a máquina que demora mais leva para realizar o serviço sozinha.
Você pode continuar estudando com equações fracionárias aqui: https://brainly.com.br/tarefa/21478046
#SPJ1