Question

Duas circunferências são tangentes internamente entre si no ponto A. Uma secante intersecta as circunferências nos pontos M, N, P e Q, nessa ordem. Prove que MÂP=NÂQ.​

Answer 1

Para auxiliar na resolução desta questão, coloquei quatro figuras em anexo.

A primeira representa os dois círculos, a secante ou corda (destacada em azul), o ponto A onde as duas circunferências são tangentes, o ponto B é o centro do círculo menor e o ponto C é o centro do círculo maior.

Além disso, coloquei a reta h que é tangente às duas circunferências no ponto A. Esta reta, destacada em rosa, é perpendicular à reta que passa pelos pontos A, B e C.

Na segunda figura, desenho três triângulos, MAN, NAP e PAQ, e dou nome aos ângulos. O ângulo MÂN eu chamo de $\alpha$, o ângulo NÂP eu chamo de $\beta$ e o ângulo PÂQ eu chamo de $\gamma$.

Além destes, destaco o ângulo entre o segmento AQ e a tangente h, a este ângulo chamo de $\delta$.

Ok, o que queremos provar é que:

$M\hat{A}P = N\hat{A}P$

ou:

$\alpha+\beta = \beta+\gamma$

Que é o mesmo que:

$\alpha=\gamma$

Ok, agora uso um Teorema chamado Alternate Segment Theorem (não sei o nome em Português), que diz o seguinte:

"Um ângulo entre uma tangente e uma corda através do ponto de contato é igual ao ângulo no segmento alternativo".

O segmento alternativo à $\overline{AM}$ é o segmento $\overline{AQ}$

O segmento alternativo à $\overline{AN}$ é o segmento $\overline{AP}$

Agora, olhando a terceira figura. Isto significa que:

$A\hat{M}N = \delta$

e:

$A\hat{N}P = \gamma + \delta$

Na última figura, destaquei o triângulo MNA. O ângulo $M\hat{N}A$  é o suplemento do ângulo $A\hat{N}P$.

Sabemos que a soma dos ângulos internos em um triângulo qualquer é sempre 180°. Ou seja:

$\delta + \alpha + 180\textdegree - \delta - \gamma = 180\textdegree$

$\delta + \alpha - \delta - \gamma = 180\textdegree-180\textdegree$

$\alpha - \gamma = 0$

$\alpha = \gamma$

O que significa que: $\alpha + \beta = \beta + \gamma$, ou:

$\boxed{M\hat{A}P = N\hat{A}Q}$