Question

Duas cargas elétricas puntiformes Q e Q =4 Q estão fixas nos pontos A e B, distantes 30 cm. Em que posição (x) deve ser colocada uma carga Q =2 Q para ficar em equilíbrio sob ação somente de forças elétricas?

Answer 1

$F_{(el)} \ = \ \frac{K \ \cdot \ |Q_1| \ \cdot \ |Q_2|}{d^2} \ \rightarrow \\ \\ F_{(el)} \ \rightarrow \ For\c{c}a \ el\'etrica \ entre \ duas \ cargas \ Q_1 \ e \ Q_2; \\ \\ K \ \rightarrow \ Constante \ eletrost\'atica \ (9 \ \cdot \ 10^9 \ \frac{N \ \cdot \ m^2}{C^2}); \\ \\ |Q_1| \ e \ |Q_2| \ \rightarrow \ M\'odulos \ das \ cargas; \\ \\ d \ \rightarrow \ Dist\^ancia \ entre \ as \ cargas.$

$Sejam \ Q_1 \ = \ Q \ Coulombs, \ Q_2 \ = \ 4 \ \cdot \ Q \ Coulombs \ e \\ Q_3 \ = \ 2 \ \cdot \ Q \ Coulombs.$

$As \ for\c{c}as \ que \ agem \ em \ Q_3 \ (entre \ Q_1 \ e \ Q_2) \ s\~ao \\ de \ repuls\~ao. \ Ali\'as, \ todo \ o \ sistema \ \'e \ repulsivo.$

$Digamos \ que \ Q \ fique \ a \ x \ cm \ de \ Q_1 \ (e, \ consequentemente, \\ (30 \ - \ x) \ cm \ de \ Q_2).$

$Para \ que \ fique \ equilibrada, \ as \ for\c{c}as \ repulsivas \ causadas \ por \\ Q_1 \ e \ Q_2 \ t\^em \ de \ se \ igualar. \\ \\ F_{(Q_1,Q_3)} \ = \ F_{(Q_2,Q_3)} \ \rightarrow \\ \\ \frac{\not{K} \ \cdot \ |Q_1| \ \cdot \ \not{|Q_3|}}{d_1^2} \ = \ \frac{\not{K} \ \cdot \ |Q_2| \ \cdot \ \not{|Q_3|}}{d_2^2} \ \rightarrow \\ \\ Nem \ vamos \ converter \ valores, \ j\'a \ que \ cortamos \ a \ Constante. \\ \\ \frac{|Q_1|}{d_1^2} \ = \ \frac{|Q_2|}{d_2^2} \ \rightarrow$

$\frac{\not{Q}}{x^2} \ = \ \frac{4 \ \cdot \ \not{Q}}{(30 \ - \ x)^2} \ \rightarrow \\ \\ \frac{900 \ - \ 60 \ \cdot \ x \ + \ x^2}{x^2} \ = \ 4 \ \rightarrow \\ \\ 900 \ - \ 60 \ \cdot \ x \ + \ x^2 \ = \ 4 \cdot \ x^2 \ \rightarrow \\ \\ 3 \ \cdot \ x^2 \ + \ 60 \ \cdot \ x \ - \ 900 \ = \ 0 \ \rightarrow \\ \\ x^2 \ + \ 20 \ \cdot \ x \ - \ 300 \ = \ 0 \ \rightarrow \\ \\ Resolvendo \ por \ Bh\'askara \ (\Delta \ = \ 1600), \ achamos : \\ \\ \rightarrow \ Ou \ x \ = \ 10 \ cm \ \checkmark;$
$\\ \rightarrow \ x \ = \ -30 \ cm \ \Rightarrow \ N\~ao \ serve! \ (x \ \ \textgreater \ \ 0)$
$Logo, \ Q_3 \ est\'a \ a \ x \ = \ 10 \ cm \ de \ Q_1 \ e \ (30 \ - \ x \ \rightarrow \ 30 \ - \ 10) \ =$$20 \ cm \ de \ Q_2.$