Question

Dois quadrados estão parcialmente sobrepostos. A interseção desses quadrados, tem área de 18cm quadrados e um perímetro de 20cm. A união deles tem área de 163cm quadrados e perímetro 56cm. Qual é, em cm quadrados, a diferença entre as áreas dos dois quadrados
a) 1
b)4
c)10
d)15
e)19

Answer 1

Resposta:   Alternativa e) 19.

Explicação passo a passo:

Sejam $Q_1$ e $Q_2$ as regiões delimitadas pelos quadrados em questão, sendo

• $x$ a medida do lado de $Q_1,$

• $y$ a medida do lado de $Q_2.$

Sem perda de generalidade, suponhamos $x\ge y.$

De acordo com os dados do enunciado, temos para a interseção dos quadrados:

     $\mathrm{\acute{A}rea}(Q_1\cap Q_2)=18~\mathrm{cm^2}\qquad\mathrm{(i)}\\\\ \mathrm{Per\acute{i}metro}(Q_1\cap Q_2)=20~\mathrm{cm}\qquad\mathrm{(ii)}$

Para a união dos quadrados, temos

     $\mathrm{\acute{A}rea}(Q_1\cup Q_2)=\mathrm{\acute{A}rea}(Q_1)+\mathrm{\acute{A}rea}(Q_2)-\mathrm{\acute{A}rea}(Q_1\cap Q_2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{\acute{A}rea}(Q_1\cup Q_2)=x^2+y^2-18\\\\ \Longleftrightarrow\quad 163=x^2+y^2-18\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+y^2=163+18\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+y^2=181\qquad\mathrm{(iii)}$

De forma análoga para o perímetro da união, temos também

     $\mathrm{Per\acute{i}metro}(Q_1\cup Q_2)=\mathrm{Per\acute{i}metro}(Q_1)+\mathrm{Per\acute{i}metro}(Q_2)-\mathrm{Per\acute{i}metro}(Q_1\cap Q_2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad \mathrm{Per\acute{i}metro}(Q_1\cup Q_2)=4x+4y-20\\\\ \Longleftrightarrow\quad 56=4x+4y-20\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4x+4y=56+20\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4x+4y=76\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4(x+y)=76\\\\ \Longleftrightarrow\quad x+y=19 \qquad\mathrm{(iv)}$

Elevando ambos os lados ao quadrado, a igualdade fica

     $\Longrightarrow\quad (x+y)^2=19^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+2xy+y^2=361\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2xy=361-(x^2+y^2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2xy=361-181\\\\ \Longleftrightarrow\quad 2xy=180\qquad\mathrm{(v)}$

Mas temos também

$(x-y)^2=x^2-2xy+y^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x-y)^2=(x^2+y^2)-2xy\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x-y)^2=181-180\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x-y)^2=1\\\\ \Longrightarrow\quad x-y=1\qquad\mathrm{(vi)}$

Queremos encontrar o valor da diferença entre as áreas dos quadrados, ou seja, o valor de

$x^2-y^2=(x+y)\cdot (x-y)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2-y^2=19\cdot 1\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2-y^2=19~\mathrm{cm^2}\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta:~alternativa ~e).}$

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)