Question

Dois poligonos regulares são tais que a soma de todas as suas diagonais é 29 e um deles tem doa lados a mais que o outro. Calcule a medida do angulo interno do poligono com a maior quantidade de lados.

135°

140°

145°

150°

160°​

Answer 1

A quantidade de diagonais de um polígono de n lados pode ser calculada pela fórmula abaixo:

$D = \dfrac{n(n-3)}{2}$

Temos dois polígonos, se chamarmos a quantidade de lados de um deles de n, a quantidade de lados do outro é n + 2, já que ele possui dois lados a mais. Sabemos que a soma das diagonais deles é 29, então:

$\dfrac{n(n-3)}{2} + \dfrac{(n+2)(n+2-3)}{2} = 29\\\\n(n-3)+ (n+2)(n-1) = 58\\\\n^2 - 3n + n^2 - n + 2n - 2 = 58\\\\2n^2-2n-60 = 0\\\\n^2 - n - 30 = 0$

Para encontrar o valor de n, resolvemos a equação acima com a fórmula de Bhaskara.

$\Delta = (-1)^2 - 4.1.(-30)\\\\\Delta = 121\\\\\sqrt{\Delta} = 11\\\\x_1 = \dfrac{-(-1)+11}{2} = 6\\\\x_2 = \dfrac{-(-1)-11}{2} = -5$

O n representa a quantidade de lados de um polígono, então ele não pode ser um número negativo. Assim, a única solução é n = 6.

Um dos polígonos tem 6 lados e o outro tem 6 + 2 = 8 lados. Queremos saber qual a medida dos ângulos internos deste octógono.

$A_i = \dfrac{S_i}8\\\\A_i = \dfrac{180(n-2)}{8}\\\\A_i = \dfrac{180(8-2)}{8}\\\\A_i = 135$

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