Dois objetos A e B movem se segundo as respectivas funções horárias das posições e de acordo com o mesmo referencial inercial Qual a velocidade instantânea do objeto B em metros por segundo quando os dois objetos se encontram?
Anexos:
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1
Temos, em unidades SI:
• xA(t) = 180.0 + 1.0 t
• xB(t) = 150.0 + 5.0t + 2.0t²
O instante em que se encontram corresponde ao momento t tal que:
xA(t) = xB(t) ⇔
⇔ 180.0 + 1.0t = 150.0 + 5.0t + 2.0t² ⇔
⇔ 0 = –30.0 + 4.0t + 2.0t² ⇔
⇔ t = [–4.0 ± √(4.0² – 4 ⋅ (–30.0) ⋅ (2.0))]/(2 ⋅ 2.0) ⇔
⇔ t = [–4.0 ± √(256.0)]/4.0 ⇔
⇔ t = (–4.0 ± 16.0)/4.0 ⇔
⇔ t = 12.0/4.0 ∨ t = –20.0/4.0 ⇔
⇔ t = 3.0 ∨ t = –5.0
Como supomos que os objetos iniciaram o movimento em t = 0.0 s, apenas faz sentido t ≥ 0.0 s. Logo, encontram-se no instante t = 3.0 s.
A componente escalar da velocidade de B nesse instante é dada pela derivada nesse ponto:
vB(t) = xB’(t) = (150.0 + 5.0t + 2.0t²)’ = 5.0 + 4.0t
Assim:
vB(t) = xB’(3.0) = 5.0 + 4.0 ⋅ 3.0 = 5.0 + 12.0 = 17.0 m/s
• xA(t) = 180.0 + 1.0 t
• xB(t) = 150.0 + 5.0t + 2.0t²
O instante em que se encontram corresponde ao momento t tal que:
xA(t) = xB(t) ⇔
⇔ 180.0 + 1.0t = 150.0 + 5.0t + 2.0t² ⇔
⇔ 0 = –30.0 + 4.0t + 2.0t² ⇔
⇔ t = [–4.0 ± √(4.0² – 4 ⋅ (–30.0) ⋅ (2.0))]/(2 ⋅ 2.0) ⇔
⇔ t = [–4.0 ± √(256.0)]/4.0 ⇔
⇔ t = (–4.0 ± 16.0)/4.0 ⇔
⇔ t = 12.0/4.0 ∨ t = –20.0/4.0 ⇔
⇔ t = 3.0 ∨ t = –5.0
Como supomos que os objetos iniciaram o movimento em t = 0.0 s, apenas faz sentido t ≥ 0.0 s. Logo, encontram-se no instante t = 3.0 s.
A componente escalar da velocidade de B nesse instante é dada pela derivada nesse ponto:
vB(t) = xB’(t) = (150.0 + 5.0t + 2.0t²)’ = 5.0 + 4.0t
Assim:
vB(t) = xB’(3.0) = 5.0 + 4.0 ⋅ 3.0 = 5.0 + 12.0 = 17.0 m/s
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