Question

Dois números positivos são tais que seu produto, sua soma e sua diferença de quadrados são iguais. Encontre o produto desses números.

Answer 1

Resposta:

$2 + \sqrt {5}$ e $2 - \sqrt {5}$

Explicação passo-a-passo:

Digamos que esses dois números positivos sejam X e Y:

O comando diz que:

XY = X + Y = X² - Y²

Sabe-se que X² - Y² = (X+Y)(X-Y) [produto da soma pela difereça de dois termos]

Logo: XY = X + Y = (X + Y)(X - Y)

(X + Y) = (X + Y)(X - Y) [Dividem-se ambos os lados por (X + Y)]

1 = X - Y

Sendo assim, os números são consecutivos, isto é, X = Y + 1.

Substituimos em XY e em X + Y:

(Y + 1) * Y = (Y + 1) + Y

Y² + Y = 2Y + 1

Y² - Y - 1 = 0

Usando a fórmula de resolução geral:

$Y = \frac{1 \pm \sqrt{1+4}}{2}= \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

Agora se encontram os dois valores possíveis de X:

$X = 1 + Y\\\\X_1 = 1 + \frac{1 + \sqrt{5}}{2}=\frac{3 + \sqrt{5}}{2}\\X_2 = 1 + \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{3-\sqrt{5}}{2}$

Os produtos serão dados por $X_1 * Y_1$ e $X_2 * Y_2$:

$P_1 = (\frac{3+\sqrt{5}}{2})*(\frac{1 + \sqrt{5}}{2})= \frac{(3+\sqrt{5})(1+\sqrt{5})}{4}= \frac{3+3\sqrt{5}+\sqrt5+5}{4}=\frac{8 + 4\sqrt{5}}{4}=2+\sqrt{5}\\\\P_2 = (\frac{3-\sqrt{5}}{2})*(\frac{1 - \sqrt{5}}{2})= \frac{(3-\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}{4}=\frac{3 - 3\sqrt{5} - \sqrt{5} + 5}{4} = \frac{8 - 4\sqrt{5}}{4} = 2 - \sqrt{5}$

Aí estão os produtos.