Question

Dois números naturais são tais que o produto entre eles é 20 e a diferença de seus quadrados é igual a 9. A soma desses valores é igual a

Answer 1

A questão nos diz que x, y € N, xy = 20, x² - y² = 9, x + y = ?

Primeiramente vamos isolar y na primeira equação e aplicar na segunda:

xy = 20

y = 20/x

Aplicando na segunda:

x² - (20/x)² = 9

x² - 400/x² = 9

x⁴/x² - 400/x² = 9

x⁴ - 400 = 9x²

x⁴ - 9x² - 400 = 0

Se dissermos que x² = z, temos que

z² - 9z - 400 = 0, ou

-z² + 9z + 400 = 0

Resolvendo:

Delta = b² - 4ac

D = 9² - 4×(-1)×400

D = 81 + 1600

D = 1681

z1 = [-9 + raiz(1681)]/(-2)

z1 = (-9 + 41)/(-2)

z1 = -16 (Impossibilidade)

z2 = (-9 - 41)/(-2)

z2 = 25

Como z = x², temos que

x² = 25

x = 5

Substituindo em xy = 20:

5y = 20

y = 4

Logo, x + y = 9