Question

Dois móveis se movimentam ao longo de uma mesma curva. As equações horárias de cada um deles é:

S1(t)=−t4+4t2

S2(t) = -4t2 - 9



Onde o tempo é contado a partir de t=0 e as unidades são aquelas do S.I.

Eles se encontrarão?
Determine o instante de tempo para o qual a distância entre eles é mínima (ou máxima?).
Determine a velocidade dos móveis no instante de tempo acima.
EXERCÍCIO 2

(5,0) Considere o cruzamento de duas avenidas numa região plana de uma cidade. Uma delas correspondente ao eixo 0y e a outro ao eixo 0x. Um carro A trafega com velocidade constante VA=30i (m/s) em relação a origem 0. Outro carro B, encontra-se em repouso no cruzamento, esperando o sinal verde. Assim que A passa pelo cruzamento o sinal fica verde e o carro B parte com velocidade dependente do tempo de tal forma que nos 5 primeiros segundos sua velocidade é dada por:

V B/0=(1,2)t+2t^2j(s;m/s)

Depois de 5 segundos o carro B mantém sua velocidade constante. O carro A mantém a sua velocidade constante durante todo o tempo. Quando carro B inicia o movimento o carro A está a 10 metros dele. Nesse instante, começamos a contar o tempo. Com esses dados, determine:



Os vetores posições dos dois carros como função do tempo.
A distância entre os carros A e B como função do tempo e sua distância decorridos 5 segundos.
A velocidade do carro B em relação ao carro A, após 5 segundos do evento descrito.
eixo20.jpg

Answer 1

Ao igualarmos as equações do espaço em função do tempo de cada um deles, obtemos o instante t de encontro. Desta forma temos:

S1(t)=−t^4+4t^2

S2(t) = -4t^2 - 9


S1 = S2


−t^4+4t^2 = -4t^2 - 9
−t^4+4t^2 +4t^2 + 9 = 0
-t^4 + 8t^2 + 9 = 0

Observe que se trata de uma equação bi-quadrática que pode ser reescrita da seguinte forma:

 

x^2 = t^4

x = t^2

 

-x^2 + 8x + 9 = 0

Agora vamos resolver esta equação do segundo grau:

Δ= b² - 4 * a * c
Δ = 64 – 4* (-1)* 9
Δ = 64 + 36
Δ = 100
√ Δ = √100 = 10

x = -b +- √ Δ / 2*a

x = -8 +- 10 / 2* (-1)

x = -8 +-10 / -2

x1 = 2/-2 = -1

x2 = -18/-2 = 9

 

Voltando a variável t, temos:

x = t^2

t = √x

 

t1 = √-1 =  não existe

t2 = √9 = 3s

 

Portanto, o encontro ocorre em t=3s.

Determine o instante de tempo para o qual a distância entre eles é mínima (ou máxima).

Para determinarmos o instante em que a distância é mínima, basta substituirmos o t de encontro nas equações:

S2(t) = -4t^2 - 9
S2(3) = -4*3^2 – 9

S2(3) = (-4*9) - 9
S2 (3) = -36-9

S2 (3) = 45m

 

Determine a velocidade dos móveis no instante de tempo acima.

A velocidade pode ser determinada pela primeira derivada das equações do espaço:

S1(t)=−t^4+4t^2
S1(t)´= V1= - 4t^3 + 8t

S2(t) = -4t^2 - 9
S2 (t)´= V2 = -8t

Quando t= 3s

 

V1= -4*3^3 + 8*3

V1 = -36 + 24

V1 = 8m/s

 

V2 = -8*3

V2= -24m/s