Question

Dois móveis se movimentam ao longo de uma mesma curva. As equações horárias de
cada um deles é:
$S_{1}(t)=- t^{4}+4 t^{2} S_{2}(t)=- 4t_{2}-9$

Onde o tempo é contado a partir de e as unidades são aquelas do S.I.
a. Eles se encontrarão?
b. Determine o instante de tempo para o qual a distância entre eles é mínima (ou máxima?).
c. Determine a velocidade dos móveis no instante de tempo acima.

Answer 1

A) Para determinar se eles se encontram basta igualar as posições:

$S_1(t) = S_2(t) \\ -t^4 + 4t^2 = -4t^2 - 9 \\ t^4 = 9$

Existe uma solução real para tal equação, então, eles se encontram.

B) Basta encontrar o valor de t na equação encontrada anteriormente pois onde eles se encontram é uma distância mínima:
$t^4 = 9 t^2 = 3 t = \sqrt3$

Como são UNIDADES DO SI, então é raiz de 3 segundos.

C) A velocidade é encontrada pela "regra do tombo", ou seja, derivando a equação de posição no tempo. Assim fica:

$V_1(t)  = -4t^3 + 8t \\ V_2(t)  = -8t$

Agora basta substituir os valores com t encontrado no B). O resultado é em metros por segundo.

$V_1(\sqrt3) = -4 \sqrt3 ^3 + 8\sqrt3 = -4\sqrt3 \\ V_2(\sqrt3) = -8\sqrt3$