Question

Dois longos fios retilíneos e paralelos estão separados por uma distância 2a, conforme
figura. Se os fios conduzem correntes iguais em sentidos opostos, qual é o campo
magnético no plano dos fios em um ponto (a) a meia distância entre eles e (b) a uma
distância 'a' acima do fio superior?

Answer 1

         O campo magnético resultante dos dois longos fios retilíneos e paralelos, será

a) horizontal, para a direita e com módulo igual a

$\large\text{ \boxed{\boxed{B_R = \dfrac{\mu_0 \cdot i}{ \pi \cdot a}} } }$

no ponto a meia distância entre os fios.

b) horizontal, para a esquerda e com módulo igual a

$\large\text{ \boxed{\boxed{B_R = \dfrac{\mu_0 \cdot i}{ 3 \cdot \pi \cdot a}} } }$

no ponto situado a uma distância 'a' acima do fio superior.

         O problema trata do princípio da superposição aplicado a campos magnéticos produzidos por correntes elétricas em fios retilíneos longos (infinitos).

         É possível demonstrar (não faremos aqui) utilizando-se da lei de Ampère ou da lei de Biot-Savart que o valor do campo magnético gerado por um fio retilíneo infinito em um ponto situado a uma distância 'r ' do fio pode ser obtido por:

                                         $\large\text{ \boxed{B = \dfrac{\mu_0 \cdot i}{2 \cdot \pi \cdot r}} (I)}$

• $\largeB$  ⇒  É o campo magnético no ponto situado a uma distância r do fio.

• $\large\mu_0 = 4 \pi \times 10^7 \sf \: T\cdot m / A$  ⇒ É a permeabilidade magnética do vácuo.

• $\large i$  ⇒  É a intensidade de corrente no fio.

• $\large r$  ⇒  É a distância do fio ao ponto onde se calcula B.

         O sentido do campo magnético pode ser obtido pela regra da mão direita e está representado na figura (anexo) através das linhas de campo para os dois fios. Foram usados os índices (1) na cor vermelha e (2) na cor preta para facilitar a identificação.

         A regra da mão direita consiste em imaginar-se pegando o fio com a mão direita mantendo-se o polegar no sentido da corrente elétrica. O movimento de fechar os outros dedos fornece o sentido das linhas de campo circulares ao redor do fio. Utilizando-a verificamos que o fio superior (1) produz  linhas de campo no sentido anti-horário enquanto o fio (2) produz linhas de campo no sentido horário.

a)

         Podemos observar na figura (anexo) que os campos magnéticos gerados pelos dois fios têm a mesma direção e o mesmo sentido no ponto a meia distância entre os fios. Os dois também possuem o mesmo módulo, dado pela equação (I) pois as correntes e as distâncias são iguais.

                                  $\largeB_1 = B_2 = \dfrac{\mu_0 \cdot i}{2 \cdot \pi \cdot a}$

Concluímos então que, nesse ponto, o campo resultante é o dobro e têm valor igual a

                                            $\large\text{ \boxed{\boxed{B_R = \dfrac{\mu_0 \cdot i}{ \pi \cdot a}} } }$

b)

         O ponto situado a uma distância 'a' acima do fio superior estará a uma distância '3a' do fio inferior e o sentido do campo gerado pelo fio superior estará para a esquerda, enquanto o sentido do campo do fio inferior no mesmo ponto estará para a direita. Dessa forma, o valor do campo nesse ponto será:

                   $\largeB_R = B_1 - B_2 = \dfrac{\mu_0 \cdot i}{2 \cdot \pi \cdot a} - \dfrac{\mu_0 \cdot i}{2 \cdot \pi \cdot (3a)}$

                  $\largeB_R = \dfrac{\mu_0 \cdot i}{2 \cdot \pi \cdot a} \cdot \left (1 - \dfrac{1}{3} \right ) = \dfrac{\mu_0 \cdot i}{2 \cdot \pi \cdot a} \cdot \dfrac{2}{3}$

                                            $\large\text{ \boxed{\boxed{B_R = \dfrac{\mu_0 \cdot i}{ 3 \cdot \pi \cdot a}} } }$

e o sentido será para a esquerda.

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