Question

Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 6 cm e 2✓3 cm. Se cada ângulo agudo do paralelogramo mede 30°, calcule as medidas das diagonais

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Ao desenhar o paralelogramo, figura em anexo, notamos suas características.

Quando traçamos a diagonal $AC$, nota-se que forma dois triângulos congruentes $\Delta{}BCA\equiv{}\Delta{}ADC$, pois $\alpha = \beta = 30^{o}$, ou seja, o lado $BA\equiv{}CA = 2\sqrt{3} cm$, e também $\delta{}\equiv{}\alpha{} = 30^{o}$, o que condiz com as propriedades fundamentais do paralelogramo, sendo:

1. Os lados opostos de um paralelogramo são congruentes;
2. Cada diagonal do paralelogramo o divide em dois triângulos congruentes;
3. Os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é $180^{o}$, temos que:

$\gamma{} = 180^{o} - \alpha - \delta\\\gamma{} = 180^{o} - 30^{o} - 30^{o}\\\gamma = 120^{o}$

Provamos que $BA\equiv{}CA = 2\sqrt{3} cm$, com a Lei dos Cossenos, (na figura).

$AC^{2} = BC^{2} + BA^{2} - 2\cdot{}BC\cdot{}BA\cdot{}cos(\alpha{})\\AC^{2} = 6^{2} + (2\sqrt{3})^{2} - 2\cdot{}6\cdot{}(2\sqrt{3})\cdot{}cos(30^{o})\\AC^{2} = 12 \rightarrow AC = \sqrt{12} \rightarrow AC = \sqrt{2^{2}\cdot{}3}\\\therefore AC = 2\sqrt{3}$

Já a diagonal $BD$, com os dados dos triângulos anterior temos que:

$BA\equiv{}CD = 2\sqrt{3} cm$

$\zeta = \gamma + \epsilon \rightarrow \zeta = 120^{o} + 30^{o}\\\zeta = 150^{o}$

Novamente aplicando a Lei dos Cossenos temos:

$BD^{2} = BC^{2} + CD^{2} - 2\cdot{}BC\cdot{}CD\cdot{}cos(\zeta)\\BD^{2} = 6^{2} + (2\sqrt{3})^{2} - 2\cdot{}6\cdot{}(2\sqrt{3})\cdot{}cos(150^{o})\\BD^{2} = 84 \rightarrow BD = \sqrt{84} \rightarrow BD = \sqrt{2^{2}\cdot{}21}\\BD = 2\sqrt{21}$