Question

Dois estudantes do ensino médio decidem calcular a temperatura do fundo de um lago. Para tanto, descem lentamente um cilindro oco, de eixo vertical, fechado apenas na extremidade superior, até o fundo do lago, com auxílio de um fio (figura abaixo). Ao puxarem o cilindro de volta, observam que ele está molhado internamente até 70% da sua altura interna. Medindo o comprimento do fio recolhido, eles encontram que a profundidade do lago é igual a 21 m. Na superfície do lago, a pressão é 1,0 atm (1,0 . 105 N/m2) e a temperatura é 27 ºC. Admitindo-se que o ar seja um gás ideal, que a aceleração da gravidade vale 10 m/s2 e que a densidade da água é constante e igual a 103 kg/m3, o valor da temperatura encontrada pelos estudantes é

a) 2,79oC
b) 276 K c)
289 K
d) 12oC
e) 6oC

Answer 1

Oi!

Para resolver essa questão, vamos lembrar de alguns dados importantes:

--> volume do cilindro (Vc) = área da base(B) x altura (hc)  

--> no início o volume do ar (Vi) que está no cilindro (na superfície) é o mesmo volume do cilindro, ou seja:  

Vi = B x hc  

--> no fundo do lago o ar ocupa 30% da altura do cilindro, pois  o ar foi comprimido 70% dentro do cilindro assim,

o volume do ar no fundo do lago (Vf) será:  

Vf= B x 0,3hc  

Vf= 0,3B x hc  

--> apressão inicial (Pa)  na superfície , é igual a pressão atmosférica:  

Pa=1 x $10^{5}$

A pressão hidrostática (Ph) no fundo do lago será calculada assim:  

Ph= d x g x H

onde:

d= densidade da água= 10³

g= aceleração da gravidade

H= profundidade do lago  

Ph= 10³ x 10 x 21  

Ph=2,1 x $10^{5}$ N/m²  

No fundo do lago será a pressão final (Pt) será a soma da pressão atmosférica (Pa) com a pressão hidróstatica (Ph):  

Pt= Pa+Ph  

Pt= 1 x $10^{5}$+2,1 x $10^{5}$

Pt= 3,1 x $10^{5}$ N/m²  

A temperatura inicial = 23 °c  

Ti= 23°C

=300K

(Tk=Tc+273)  

De acordo com a equação geral dos gases:  

Pax (Vi/Ti) = Pt x (Vf/Tf )

substituindo os valores:  

$10^{5}$ x B x (hc/300)= 3,1$10^{5}$ x 0,3B x (hc/Tf)  

Eliminando B x hc e $10^{5}$ dos membros :  

1/300= 3,1 x (0,3/Tf  )

1/300= 0,93/Tf  

Tf= 300 x 0,93  

Tf= 279K

Tf= 6°C

A resposta está na alternativa e) 6ºC