Question

Dois cubos são tais que a aresta do menor mede 2 cm e a razão entre seus volumes é calcule a aresta do maio

Answer 1

$Todo \ e \ qualquer \ cubo \ \'e \ semelhante \ a \ todos \ e \ quaisquer \ outros \ cubos.\\ \\ Justamente \ porque \ todo \ e \ qualquer \ cubo \ tem \ as \ suas \ tr\^es \ dimens\~oes \\ de \ lados \ iguais, \ podemos \ fazer \ as \ seguintes \ raz\~oes  \ :$

$Sejam \ dois \ cubos \ A \ e \ B \ de \ lados \ \bold{a} \ e \ \bold{b}, \ respectivamente. \\ \\ \dfrac{a}{b} \ = \ N, \ em \ que \ N \ \'e \ uma \ raz\~ao \ de \ semelhan\c{c}a \ de \ 1^\circ \ dimens\~ao; \\ \\ \circ \ Ou \ seja, \ N \ \'e \ adimensional \ do \ tipo \ \Big(\dfrac{medida}{medida}\Big); \\ \\ \\ \Big(\dfrac{a}{b}\Big)^2 \ = \ N^2, \ ou \ seja, \ 2^\circ \ dimens\~ao;$

$\bullet \ N^2 \ \'e \ adimensional \ do \ tipo \ \Big(\dfrac{medida}{medida}\Big)^2, \ rela\c{c}\~ao \ superficial \\ \\ \\ \Big(\dfrac{a}{b}\Big)^3 \ = \ N^3, \ ou \ seja, \ 3^\circ \ dimens\~ao; \\ \\ \circ \ N^3 \ \'e \ adimensional \ do \ tipo \ \Big(\dfrac{medida}{medida}\Big)^3, \ rela\c{c}\~ao \ volum\'etrica.$

$Enfim, \ tal \ raz\~ao \ \'e \ volum\'etrica. \\ \\ Sejam \ j \ = \ 2 \ cm \ a \ medida \ do \ cubo \ menor \ e \ n \ a \ medida \ do \ maior. \\ \\ A \ raz\~ao \ volum\'etrica \ (N^3) \ entre \ tais \ cubos \ \'e \ : \\ \\ N^3 \ = \ [(\sqrt{2 \ + \ \sqrt{3}} \ + \ \sqrt{2 \ - \ \sqrt{3}})]^2 \ \dots$

$Para \ expandirmos \ t\~ao \ pot\^encia, \ recorremos \ ao \ \bold{produto \ not\'avel.} \\ \\ \boxed{(\alpha \ \pm \ \beta)^2 \ = \ \alpha^2 \ \pm \ 2\cdot\alpha\cdot\beta \ + \ \beta^2}$

$N^3 \ = \ [(\underbrace{\sqrt{2 \ + \ \sqrt{3}}}_{\alpha} \ + \ \underbrace{\sqrt{2 \ - \ \sqrt{3}}}_{\beta})]^2 \ \rightarrow \\ \\ \\ N^3 = (\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 + 2 \cdot (\sqrt{2 + \sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) \ + \ (\sqrt{2 - \sqrt{3}})^2 \rightarrow \\ \\ \\ N^3 \ = \ 2 \not{+ \ \sqrt{3}} \ + \ 2 \cdot (\sqrt{2 + \sqrt{3}}) \cdot (\sqrt{2 - \sqrt{3}}) \ + \ 2 \not{- \ \sqrt{3}} \ \rightarrow$

$N^3 \ = \ 4 \ + \ 2 \cdot (\sqrt{(2 \ + \ \sqrt{3}) \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})}) \ \rightarrow \\ \\ \\ Aqui \ temos \ outro \ produto \ not\'avel : \\ \\ \boxed{(\alpha \ + \ \beta) \ \cdot \ (\alpha \ - \ \beta) \ = \ \alpha^2 \ - \ \beta^2}\\ \\ \\ N^3 \ = \ 4 \ + \ 2 \cdot (\sqrt{(\underbrace{2}_{\alpha} \ + \ \underbrace{\sqrt{3}}_{\beta}) \ \cdot \ (2 \ - \ \sqrt{3})}) \ \rightarrow \\ \\ \\ \\ N^3 \ = \ 4 \ + \ 2 \ \cdot \ \sqrt{2^2 \ - \ \sqrt{3}^2} \ \rightarrow$

$N^3 \ = \ 4 \ + \ 2 \ \cdot \ \sqrt{4 \ - \ 3} \ \rightarrow \\ \\ \\ N^3 \ = \ 4 \ + \ 2 \ \cdot \ \underbrace{\sqrt{1}}_{\pm \ 1} \ \rightarrow \\ \\ N^3 \ = \ 4 \ \pm \ 2 \ = \\ \\ H\'a \ duas \ possibilidades : \\ \\ \circ \ N^3 \ = \ 4 \ + \ 2 \ = \  6 \ \rightarrow \\ \\ \Big(\dfrac{n}{j}\Big)^3 \ = \ 6 \ \rightarrow \\ \\ \dfrac{n}{2} \ = \ \sqrt[3]{6} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{n \ = \ 2 \ \cdot \ \sqrt[3]{6} \ \ cm} \ \Rightarrow \ Lado \ do \ cubo \ maior! \\ \\ Ou \ :$

$\bullet \ N^3 \ = \ 4 \ - \ 2 \ = \ 2 \ \rightarrow \\ \\ \Big(\dfrac{n}{j}\Big)^3 \ = \ 2 \ \rightarrow \\ \\ \dfrac{n}{2} \ = \ \sqrt[3]{2} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{n \ = \ 2 \ \cdot \ \sqrt[3]{2} \ \ cm} \ \Rightarrow \ Lado \ do \ cubo \ maior!$