Question

- Dois corpos celestes, de massas m1 e m2, constituindo uma estrela dupla, interagem entre si como um sistema isolado no universo.Eles descrevem círculos de raios r1 e
r2, respectivamente. Sendo G a constante de gravitação,
verifique a seguir qual é a velocidade angular dos dois
corpos.

Answer 1

Estrelas duplas orbitam um centro de massa (CM), e agem como um sistema de período único:

Daí ⇒ T₁ = T₂, logo a velocidade angular será a mesma para ambas as massas.

Assim ⇒ ω₁ = ω₂

Devemos ter o cuidado de não consideramos r₁+r₂ como o raio de órbita do sistema, pois a órbita do sistema binário diverge dá orbita de um satélite em torno de um planeta qualquer.

Daí ⇒ (r₁ + r₂) é a distância entre as massas.

Tomando como ponto de partida a massa m₁, temos

F₁ = Gm₁m₂/ (r₁+r₂)²
m₁ac₁ = Gm₁m₂/(r₁+r₂)²
ac₁ = Gm₂/(r₁+r₂)²

Como ⇒ ac₁ = (v₁)²/r₁   e  v₁ = ωr₁

temos que : ac₁ = ω²r₁

logo: ω² r₁ = Gm₂/(r₁+r₂)²

       ω = √Gm₂/r₁(r₁+r₂)²