Question

Dois cientistas, trabalhando de maneira independente, desenvolveram uma função para representar o crescimento populacional da humanidade. Ambos consideraram as mudanças que ocorreram no comportamento do ser humano e as mudanças climáticas oriundas da atividade humana. As funções que cada um desenvolveu são apresentadas a seguir:

Cientista A:


​Cientista B:


em que ​PA(t) e P­B(t) são as populações estimadas por cada um dos cientistas, em bilhões de pessoas, e t é o tempo, em anos, considerando o ano “zero” como 2019.

Partindo destas duas equações, resolva:

a) Encontre a população inicial para as duas funções no ano de 2019, encontre também a população em 2030 e o valor da estimativa populacional para um longo período de tempo, ou seja quando t --> (∞). (0,2 pontos)

b) Encontre as funções que representam a taxa de variação populacional para cada um dos modelos propostos, calcule seus valores para o ano de 2025 e compare esses valores com a diferença entre os valores encontrados para as funções de estimativa populacioal, para os anos de 2025 e 2026. (0,3 pontos)

Answer 1

A população inicial para ambas as funções de estimativa é 7,7 bilhões de pessoas.

A população inicial é encontrada substituindo t por 0 nas funções, logo:

Pa(t) = (11t² + 125t + 77)/(t² + 5t + 10)

Pb(t) = (13t² + 105t + 77)/(t² + 8t + 10)

Pa(0) = 77/10 = 7,7 bilhões de pessoas

Pb(0) = 77/10 = 7,7 bilhões de pessoas

Em 2030, teremos t = 11, então:

Pa(11) = (11.11² + 125.11 + 77)/(11² + 5.11 + 10)

Pa(11) = 14,96 bilhões de pessoas

Pb(11) = (13.11² + 105.11 + 77)/(11² + 8.11 + 10)

Pb(11) = 12,81 bilhões de pessoas

Quando o tempo tende a infinito, devemos aplicar o limite das funções. Note que teremos uma indeterminação ∞/∞, logo, deve-se aplicar a regra de L'Hopital:

lim (11t² + 125t + 77)/(t² + 5t + 10)

t→∞

lim (22t + 125)/(2t + 5)

t→∞

lim 22/2 = 11 bilhões de pessoas

t→∞

lim (13t² + 105t + 77)/(t² + 8t + 10)

t→∞

lim (26t + 105)/(2t + 8)

t→∞

lim 26/2 = 13 bilhões de pessoas

t→∞

b) A derivada das funções serão dadas pela regra do quociente:

dPa(t)/dt = [(22t+125).(t² + 5t + 10) - (11t² + 125t + 77).(2t + 5)]/(t² + 5t + 10)²

dPa(t)/dt = (-70t² + 66t + 865)/(t² + 5t + 10)²

dPb(t)/dt = [(26t+105).(t² + 5t + 10) - (13t² + 105t + 77).(2t + 8)]/(t² + 8t + 10)²

dPb(t)/dt = (-t² + 106t + 434)/(t² + 8t + 10)²

O ano de 2025 é t = 6, logo:

dPa(6)/dt = -0,218

dPb(6)/dt = 0,117

As estimativas para 2025 são:

Pa(6) = 16,09 bilhões

Pb(6) = 12,5 bilhões

As estimativas para 2026 são:

Pa(6) = 15,86 bilhões

Pb(6) = 12,6 bilhões

Note que para ambas as funções, os valores da taxa de variação correspondem aos valores das estimativas.