Question

Dois cientistas, trabalhando de maneira independente, desenvolveram uma função para representar o crescimento populacional da humanidade. Ambos consideraram as mudanças que ocorreram no comportamento do ser humano e as mudanças climáticas oriundas da atividade humana. As funções que cada um desenvolveu são apresentadas a seguir:


Cientista A:



​Cientista B:



em que ​PA(t) e P­B(t) são as populações estimadas por cada um dos cientistas, em bilhões de pessoas, e t é o tempo, em anos, considerando o ano “zero” como 2019.


Partindo destas duas equações, resolva:


a) Encontre a população inicial para as duas funções no ano de 2019, encontre também a população em 2030 e o valor da estimativa populacional para um longo período de tempo, ou seja quando t --> (∞). (0,2 pontos)


b) Encontre as funções que representam a taxa de variação populacional para cada um dos modelos propostos, calcule seus valores para o ano de 2025 e compare esses valores com a diferença entre os valores encontrados para as funções de estimativa populacioal, para os anos de 2025 e 2026.

Answer 1

Utilizando derivadas das funções população e limite ao infinito, podemos determinar as informações pedidas pela questão da seguinte forma:

Então temos as seguinte funções dos dois cientistas:

$P_A(t)=\frac{11t^2+125t+77}{t^2+5t+10}$

$P_B(t)=\frac{13t^2+105t+77}{t^2+8t+10}$

Vamos encontrar logo as derivadas destas funções, pois iremos precisar para a letra B. Ambas as derivadas serão feitas por regra do cociente:

$P_A'(t)=\frac{(22t+125)(t^2+5t+10)-(11t^2+125t+77)(2t+5)}{(t^2+5t+10)^2}$

$P_B'(t)=\frac{(26t+105)(t^2+8t+10)-(13t^2+105t+77)(2t+8)}{(t^2+8t+10)^2}$

Não irei simplificar estas derivadas, pois acredito que não irá fazer diferença na hora dos calculos em si.

Tendo estas funções podemos ir as perguntas:

a) Encontre a população inicial para as duas funções no ano de 2019, encontre também a população em 2030 e o valor da estimativa populacional para um longo período de tempo, ou seja quando t --> (∞).

Basta substituir nas função t=0 e t=11 e por fim fazer o limite destas funções quando t tende a infinito.

Para A:

$P_A(0)=\frac{11.0^2+125.0+77}{0^2+5.0+10}=7,7$

$P_A(11)=\frac{11.11^2+125.11+77}{11^2+5.11+10}=14,96$

$lim_{t \rightarrow \infty}P_A(t)=\frac{11t^2+125t+77}{t^2+5t+10}=\frac{t^2(11+\frac{125}{t}+\frac{77}{t^2})}{t^2(1+\frac{5}{t}+\frac{10}{t^2})}=\frac{11}{1}=11$

Para B:

$P_B(0)=\frac{13.0^2+105.0+77}{0^2+8.0+10}=7,7$

$P_B(11)=\frac{13.11^2+105.11+77}{11^2+8.11+10}=12,8$

$lim_{t \rightarrow \infty}P_B(t)=\frac{13t^2+105t+77}{t^2+8t+10}=\frac{t^2(13+\frac{105}{t}+\frac{77}{t^2})}{t^2(1+\frac{8}{t}+\frac{10}{t^2})}=\frac{13}{1}=13$

b) Encontre as funções que representam a taxa de variação populacional para cada um dos modelos propostos, calcule seus valores para o ano de 2025 e compare esses valores com a diferença entre os valores encontrados para as funções de estimativa populacioal, para os anos de 2025 e 2026.

As taxas de variação são as derivadas que já encontramos, então agoras bats substituir valores. Substituindo t=6 na derivada e comparando com a diferença da população em t=7 e t=6.

Para A:

$P_A'(6)=\frac{(22.6+125)(6^2+5.6+10)-(11.6^2+125.6+77)(2.6+5)}{(6^2+5.6+10)^2}=-0,21$

$P_A(6)=\frac{11.6^2+125.6+77}{6^2+5.6+10}=16,09$

$P_A(7)=\frac{11.7^2+125.7+77}{7^2+5.7+10}=15,86$

$P_A(7)-P_A(6)=15,86-16,09=-0,22$

Esta diferença de -0,22 é bem proxima da derivada de -0,21.

Para B:

$P_B'(6)=\frac{(26.6+105)(6^2+8.6+10)-(13.6^2+105.6+77)(2.6+8)}{(6^2+8.6+10)^2}=0,11$

$P_B(6)=\frac{13.6^2+105.6+77}{6^2+8.6+10}=12,5$

$P_B(7)=\frac{13.7^2+105.7+77}{7^2+8.7+10}=12,6$

$P_A(7)-P_A(6)=12,6-12,5=0,1$

Esta diferença como a da anterior é proxima da derivada.