Question

Dois atletas, A e B, estão em treinamento para participar da corrida de São Silvestre, no final do ano, em São Paulo. O gráfico abaixo mostra como varia o espaço escalar (x) em função do tempo (t) para cada um deles durante o treinamento que acontece simultaneamente. Em que instante ocorrerá o encontro dos móveis? * 5 pontos Imagem sem legenda aproximadamente 33 minutos aproximadamente 40 minutos aproximadamente 20 minutos aproximadamente 13 minutos aproximadamente 5 minutos

Answer 1

Os atletas A e B se cruzam, aproximadamente, 13 minutos após o início do treinamento. Logo, a letra d) é a correta.

Anexei o gráfico da questão no final desta resolução, para facilitar o entendimento.

Primeiro devemos obter a equação da reta de cada um dos corredores.

Corredor A:

Pelo gráfico vemos que a reta A, em vermelho, passa pelos dois pontos:

• P1 = (0 , 2);
• P2 = (1 , 8).

A equação geral de uma reta pode ser expressa da seguinte maneira:

$(y_1 - y_2)x + (x_2 - x_1)y + x_1y_2 - x_2y_1 = 0$

, sendo os coeficientes 1 referentes ao ponto P1 e os coeficientes 2 ao ponto P2.

Substituindo os pontos da reta A, teremos:

$(y_1 - y_2)x + (x_2 - x_1)y + x_1y_2 - x_2y_1 = 0\\\\(2 - 8)x + (1 - 0)y + 0*8 - 1*2 = 0\\\\-6x + y - 2 = 0\\\\y = 2 + 6x$

Nas variáveis do nosso problema:

$x_A(t) = 2 + 6t$

Corredor B:

Já na reta B, em verde na figura, teremos os seguintes pontos:

• P1 = (0 , 4);
• P2 = (2 , -2).

Substituindo-os na equação gera da reta:

$(y_1 - y_2)x + (x_2 - x_1)y + x_1y_2 - x_2y_1 = 0\\\\(4 - (-2))x + (2 - 0)y + 0*(-2) - 2*4 = 0\\\\6x + 2y - 8 = 0\\\\3x + y - 4 = 0\\\\y = 4 - 3x$

Retornando para as variáveis do nosso problema:

$x_B(t) = 4 - 3t$

Portanto, os dois atletas se encontrarão quando seus espaços x(t) forem iguais. Matematicamente:

$x_A(t) = x_B(t)$

Substituindo as equações que calculamos anteriormente:

$2 + 6t = 4 - 3t\\\\6t + 3t = 4 - 2\\\\9t = 2\\\\t = 2/9 h$

Aplicando uma regra de três simples teremos o tempo em minutos:

1 h --------- 60 min

2/9 h ----- x (min)

x = 60*2/9 = 13,33 min

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