Question

Do ponto A um observador vê o topo de uma torre sob um angulo de 45º. Se avançar 21 m em direção a torre, o ângulo passa a ser 60º. Qual a altura da torre?

Answer 1

Observe que se chamamos a altura da torre de "x" quando o observador está no ponto A a distância de A até a torre é igual a altura x, pois o triângulo é isósceles.
Ao avançar 21 m veremos que a distância agora é x-21.
Neste triângulo (de 60 graus) podemos usar a tangente:
$tan(60^o)=\frac{x}{x-21} \\ \\ \sqrt3=\frac{x}{x-21} \\ \\ \sqrt3x-21\sqrt3=x \\ \\ \sqrt3x-x=21\sqrt3 \\ \\ x(\sqrt3-1)=21\sqrt3 \\ \\ \boxed{x=\frac{21\sqrt3}{\sqrt3-1} }$

Answer 2

A altura da torre é, aproximadamente, 49,7 metros.

Esta questão está relacionada com relações trigonométricas. As relações trigonométricas de um ângulo pertencente a um triângulo retângulo são o seno, cosseno e tangente. Esses valores são calculados através da fração entre dois lados do triângulo, onde temos: cateto adjacente, cateto oposto e hipotenusa.

Na primeira situação, temos o ângulo de 45º e seu respectivo cateto oposto, referente a altura da torre. Considerando uma distância X, obtemos o seguinte:

$tg(45)=\frac{h}{x} \rightarrow x=\frac{h}{tg(45)}$

Agora, vamos analisar a segunda situação, onde podemos aplicar a mesma relação, mas dessa vez com ângulo de 60º e distância de X-21. Logo:

$tg(60)=\frac{h}{x-21}\rightarrow x=\frac{h}{tg(60)}+21$

Isolando a distância X em ambas as equações, podemos igualar as funções e ter apenas a altura da torre como incógnita. Portanto, a altura da torre será:

$\frac{h}{tg(45)}=\frac{h}{tg(60)}+21 \\ \\ h\approx 49,7 \ m$

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