Dizemos que um número natural n é um cubo perfeito se existe um número natural a tal que n = a 3 . Determine o subconjunto dos números primos que podem ser escritos como soma de dois cubos perfeitos.
Soluções para a tarefa
Resposta:
2 é o único primo nessas condições.
Explicação passo-a-passo:
Queremos encontrar todos os primos p tais que existem dois números naturais x,y satisfazendo:
p = x³ + y³
Lembrando que x³+y³ = (x+y) (x²-xy+y²) segue que
p = (x+y)(x²-xy+y²)
Como p é primo, temos duas opções:
1º caso: x+y = 1
Nesse caso, como os números envolvidos são naturais as únicas possibilidades são x=0,y=1 ou x=1 y=0. Em ambos os casos temos p = 1, que não é interessante.
2º caso: x² - xy + y² = 1
Nesse caso, adicionando -xy a ambos os lados obtemos
(x-y)² = 1-xy
Notamos que o lado esquerdo da equação é sempre não negativo. Isso implica que xy = 1 ou xy = 0, de onde obtemos as possibilidades (0,0),(1,0),(0,1) e (1,1). Dessas, a única que gera um primo é x = y = 1.
Obs.: Assumindo que os números podem ser negativos existem mais soluções. Por exemplo, 7 = 2³ - 1³