Question

Dizemos que um conjunto W de vetores é ortogonal quando os vetores de W são dois a dois ortogonais. Caso W seja um conjunto ortogonal e todos os vetores possuam módulo igual a 1, dizemos que W é um conjunto ortonormal.
Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto W ={u,v,w} de R3 é ortonormal, apenas ortogonal ou nenhum dos dois.
(a) u = (1, 2, 1), v = (1, -1, 1), w = (-1, 1, 2). (nenhum dos dois).
(b) u = (2/7, 6/7, 3/7), v = (3/7, 2/7, -6/7), w = (6/7, -3/7, 2/7). (ortonormal)

Answer 1

a) O conjunto W não é ortogonal nem ortonormal.

b) O conjunto W é ortonormal.

Produto escalar

A definição do produto escalar pode ser dada através da expressão abaixo onde u e v são vetores em R3:

$u \cdot v = u_1 \cdot v_1 + u_2 \cdot v_2 + u_3 \cdot v_3$

O produto escalar é sempre um número real. Se o produto escalar for nulo, os vetores u e v são chamados ortogonais.

a) Calculando os produtos escalares dois a dois, teremos:

u·v = 1·1 + 2·(-1) + 1·1 = 1 - 2 + 1 = 0

u·w = 1·(-1) + 2·1 + 1·2 = -1 + 2 + 2 = 3

v·w = 1·(-1) + (-1)·1 + 1·2 = -1 - 1 + 2 = 0

Como u·w ≠ 0, esse conjunto não é ortogonal nem ortonormal.

b) Calculando os produtos escalares dois a dois, teremos:

u·v = (2/7)·(3/7) + (6/7)·(2/7) + (3/7)·(-6/7) = 6/49 + 12/49 - 18/49 = 0

u·w = (2/7)·(6/7) + (6/7)·(-3/7) + (3/7)·(2/7) = 12/49 - 18/49 + 6/49 = 0

v·w = (3/7)·(6/7) + (2/7)·(-3/7) + (-6/7)·(2/7) = 18/49 - 6/49 - 12/49 = 0

Logo, o conjunto é ortogonal. Calculando os módulos dos vetores:

|u| = √(2/7)² + (6/7)² + (3/7)² = √4/49 + 36/49 + 9/49 = √49/49 = 1

|v| = √(3/7)² + (2/7)² + (-6/7)² = √4/49 + 4/49 + 36/49 = √49/49 = 1

|w| = √(6/7)² + (-3/7)² + (2/7)² = √36/49 + 9/49 + 7/49 = √49/49 = 1

Logo, o conjunto é ortonormal.

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