Question

Dividindo-se o número natural N por 13, obtém-se quociente Q e resto R. Aumentando-se 2 unidades no dividendo e mantendo-se o divisor, o quociente aumenta de 1 unidade e a divisão é exata. Sabendo-se que Q + R = 16, podemos afirmar que os divisores primos de N são:
a) 2 e 19
b) 2, 3 e 13
c) 3 e 17
d) 3, 5 e 7
e) 5 e 11
A reposta correta é a letra A, mas preciso da resolução! Obrigada

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Vittoria, que a resolução é simples.

Tem-se a seguinte questão:

Dividindo-se o número natural N por 13, obtém-se quociente Q e resto R. Aumentando-se 2 unidades no dividendo e mantendo-se o divisor, o quociente aumenta de 1 unidade e a divisão é exata. Sabendo-se que Q + R = 16, podemos afirmar que os divisores primos de N são quais?

Antes veja que, em QUALQUER divisão, isto ocorre:

D = d*q + R , em que "D" é o dividendo, "d" é o divisor, "q" é o quociente e "R" é o resto.

Bem, agora vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Dividindo-se o número N (dividendo) por "13" (divisor) obtém-se quociente "q" e resto "R". Então teremos isto (note o que afirmamos sobre o que ocorre em QUALQUER divisão):

N = 13*q + R     --- ou apenas:
N = 13q + R       . (I)
 
ii) Aumentando-se 2 unidades no dividendo (logo: N+2) e mantendo-se o divisor (logo ficando o divisor igual a "13"), o quociente aumenta de 1 unidade (logo: q+1) e a divisão é exata (logo resto = 0). Assim, teremos:

N+2 = 13*(q+1) + 0 --- ou apenas:
N+2 = 13*(q+1) ---- efetuando o produto indicado no 2º membro, teremos:
N+2 = 13*q + 13*1
N+2 = 13q + 13 ---- passando "2" para o 2º membro, teremos:
N = 13q + 13 - 2
N = 13q + 11      . (II)

iii) Tem-se também a seguinte informação dada no enunciado da questão, segundo a qual o quociente (q) mais o resto (R) é igual a "16". Ou seja, temos isto como informação adicional:

q + R = 16    . (III)

iv) Bem, veja que ficamos com um sistema formado pelas expressões (I), (II) e (III), e que são estas:

N = 13q + R       . (I)
N = 13q + 11      . (II)
q + R = 16    . (III)

iv.1) Vamos fazer o seguinte: vamos na expressão (I), que é esta:

N = 13q + R

Mas "N", conforme a expressão (II) é igual a "13q + 11". Então vamos na expressão (I) e, nela, substituiremos "N" por "13q+11".
Vamos apenas repetir a expressão (I), que é esta:

N = 13q + R ---- substituindo-se "N" por "13q+11" (conforme visto aí em cima), teremos:

13q + 11 = 13q + R ---- passando "13q" do 2º para o 1º membro, teremos:
13q + 11 - 13q = R --- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, teremos:
11 = R ---- ou, invertendo-se, teremos;
R = 11 <--- Este é o valor do resto (R).

iv.2) Agora vamos na expressão (III), que é esta:

q + R = 16 --- substituindo-se "R" por "11, teremos:
q + 11 = 16 ---- passando-se "11" para o 2º membro, teremos:
q = 16 - 11
q = 5 <--- Este é o valor do quociente.

iv.3) Finalmente, agora vamos na expressão (II), para encontrarmos o valor do dividendo (N). A expressão (II) é esta:

N = 13q + 11 ----- substituindo-se "q" por "5", teremos:
N = 13*5 + 11
N = 65 + 11
N = 76 <--- Este é o valor do quociente (N).

v) Finalmente, agora vamos ao que está sendo pedido, que é: quais são os fatores primos de N?
Resposta: como N = 76 então vamos fatorar "76" e ver quais são os seus fatores primos. Assim:

76 | 2
38 | 2
.19 | 19
....1|

Então, como você está vendo aí em cima, na fatoração que fizemos do número N (N = 76), temos que os fatores primos são "2" e "19", ou seja:

2 e 19 <--- Esta é a resposta. Opção "a".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

Oihee, espero ajudar todos que precisem!!

Resposta: 2 e 19 _ Letra (a)

N = 13Q + R (I)

N + 2 = 13(Q + 1) ⇒ N + 2 = 13Q + 13 ⇒ N = 13Q + 11 (II)

De I e II, temos:

13Q + R = 13Q + 11 ⇒ R = 11

Como Q + R = 16, temos que Q = 5.

Assim, em I, temos:

N = 13 ∙ 5 + 11 = 76

Fatorando o 76, temos:

76 = 2 ∙ 2 ∙ 19

Assim, os divisores primos de N são 2 e 19.