Question

divida 105 em duas partes, tais que, o dobro de uma aumentado dos seus 5/9 da outra sejam iguais a 119. quais são os números?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Bla, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Vamos chamar as duas partes de "x" e de "y". Assim, como as duas partes somam 105, então teremos que:

x + y = 105        . (II)

ii) Tem-se que o dobro de uma parte mais 5/9 da outra da outra parte deverá somar 119. Então se tomarmos o dobro de "x" teremos 2*x = 2x; e se tomarmos 5/9 da outra parte, teremos (5/9)*y = 5y/9. Como essas partes assim multiplicadas deverão somar 119, então teremos que:

2x + 5y/9 = 119 ---- mmc, no 1º membro é igual a "9". Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos (lembre-se: toma-se o mmc e divide-se pelo denominador; o resultado que der, multiplica-se pelo numerador):

(9*2x + 1*5y)/9 = 119 ---- desenvolvendo, temos:
(18x + 5y)/9 = 119 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
18x + 5y = 9*119
18x + 5y = 1.071     . (II)

iii) Assim, como você está vendo, ficamos com um sistema formado pelas expressões (I) e (II) e que são estas:

{x + y = 105            . (I)
{18x + 5y = 1.071    . (II)

iv) Agora faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-5" e, em seguida, somaremos membro a membro com a expressão (II). Então, fazendo isso, teremos:

-5x - 5y = - 525 --- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-5"]
18x+5y = 1.071 --- [esta é a expressão (II) normal]
------------------------------- somando-se membro a membro, teremos:
13x+0 = 546 --- ou apenas:
13x= 546
x = 546/13
x = 42 <--- Este é o valor da parte "x".

Agora, para encontrarmos o valor da parte "y", vamos em uma das duas expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas, substituiremos "x" por "42". Vamos na expressão (I), que é esta:

x + y = 105 --- substituindo-se "x" por "42", teremos:
42 + y =105
y = 105 - 42
y = 63 <--- Este é o valor da parte "y".

v) Assim, resumindo, temos que as duas partes ("x" e "y") serão estas:

x = 42; e y = 63 <--- Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x; y} da seguinte forma, o que dá no mesmo:

S = {42; 63}.

Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por mera curiosidade, veja como isso é verdade mesmo.

- A soma das duas partes é igual a 105. Então:

42 + 63 = 105
105 = 105 ----- Perfeito. Fechou

- O dobro da primeira parte mais 5/9 da outra parte é igual a 119. Então:

2*42 + (5/9)*63 = 119
84 + 5*63/9 = 119
84 + 315/9 = 119 --- como "315/9 = 35", teremos:
84 + 35 = 119
119 = 119 ---- Perfeito. Fechou também.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.