Question

Distribuição binomial
Um dado não viciado é lançado 7 vezes. Chamemos de sucesso a ocorrência de um 3 ou um 6.
a) Qual a probabilidade de ocorrer 3 ou 6 exatamente 3 vezes?
b) A probabilidade de um 3 ou 6 ocorrer pelo menos uma vez?

Answer 1

P(3U6) = 2/6 = 1/3

p = 1/3

q = 1-q ⇒ 2/3

n = 7
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A)

$\\ P(X=3) = C7,3*p^3q^7^-^3 \\ \\ P(X=3) = \frac{7!}{(7-3)!3!} *( \frac{1}{3} )^3( \frac{2}{3})^4 \\ \\ P(X=3) = \frac{7*6*5*4!}{4!6} * \frac{2^4}{3^3*3^4} \\ \\ P(X=3) = 35* \frac{16}{3^7} \\ \\ P(X=3) = \frac{560}{2187}$

P(X=3) ≈ 0,2286 ⇒ 22,86%
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B)

Pelo menos uma vez é o mesmo que:


$P(X \geq 1) = 1-P(X\ \textless \ 1)$

Sabemos que:

$\\ P(X\ \textless \ 1) = P(X=0) = C7,0*p^0q^7 \\ \\ P(X\ \textless \ 1) = 1*1*( \frac{2}{3} )^7 \\ \\ P(X\ \textless \ 1) = \frac{2^7}{3^7} \\ \\ P(X\ \textless \ 1) = \frac{128}{2187}$

P(X<1) ≈ 0,05852

Logo teremos:

$\\ P(X \geq 1) = 1- P(X \ \textless \ 1) \\ \\ P(X \geq 1) = 1-0,05852 \\ \\ P(X \geq 1) = 0,94148$

P(X ≥ 1) ≈ 94,15%