Question

Distribuição binomial
Três de cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual a probabilidade de:
a) Pelo menos 12 tenham feito cursinho?
b) No máximo 13 tenham feito cursinho?
c) Exatamente 12 tenham feito cursinho?
d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de alunos que fizeram cursinho? E a variância?

Answer 1

p = 3/4

q = 1 - p ⇒ 1/4

n = 16
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A)

Pelo menos 12 é o mesmo que:

$P(X \geq 12) = P(X=12)+P(X=13)+..+P(X=16)$

Vamos calcular cada um individualmente e depois efetuar o somatório.

$\\ P(X=12) = C16,12p^1^2q^1^6^-^1^2 \\ \\ P(X=12) = \frac{16!}{(16-12)!12!} *( \frac{3}{4} )^1^2*( \frac{1}{4} )^4 \\ \\ P(X=12) = \frac{16*15*14*13*12!}{12!4*3*2*1} ( \frac{3}{4} )^1^2*( \frac{1}{4} )^4 \\ \\ P(X=12) = 364* \frac{3^1^2}{4^1^6}$

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$\\ P(X=13) = C16,13p^1^3q^1^6^-^1^3 \\ \\ P(X=13) = \frac{16*15*14*13!}{(16-13)!13!} *( \frac{3}{4} )^1^3( \frac{1}{4})^3 \\ \\ P(X=13) = 560* \frac{3^1^3}{4^1^6}$

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$\\ P(X=14) = C16,14p^1^4q^1^6^-^1^4 \\ \\ P(X=14) = \frac{16*15*14!}{(16-14)!14!} *( \frac{3}{4})^1^4( \frac{1}{4} )^2 \\ \\ P(X=14) = 120* \frac{3^1^4}{4^1^6}$

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$\\ P(X=15) = C16,15p^1^5q^1^6^-^1^5 \\ \\ P(X=15) = 16*( \frac{3}{4} )^1^5( \frac{1}{4} )^1 \\ \\ P(X=15) = 16*\frac{3^1^5}{4^1^6}$

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$\\ P(X=16) = C16,16p^1^6q^1^6^-^1^6 \\ \\ P(X=16) = 1* (\frac{3}{4} )^1^6*1 \\ \\ P(X=16) = (\frac{3}{4} )^1^6$


Logo teremos que somar as probabilidades calculadas.

$P(X \geq 12) = P(X=12)+P(X=13)+...+P(X=16)$

$\\ P(X \geq 12) = 364* \frac{3^1^2}{4^1^6} +560* \frac{3^1^3}{4^1^6} +..+( \frac{3}{4} )^1^6$

P( X ≥ 12 ) = 0,045039813 + 0,20787606+0,13363461+0,053453844+0,010022595

P(X ≥ 12 ) ≈ 0,45 ⇒ 45%
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B) No máximo 13 pessoas é o mesmo que:

$P(X \leq 13) = 1 - P(X\ \textgreater \ 13)$

E sabemos que:


$P(X \ \textgreater \ 13) = P(X=14)+P(X=15)+P(X=16)$

Já calculamos essas probabilidades na 1 questão. Logo,



$\\ P(X\ \textgreater \ 13) = 120* \frac{3^1^4}{4^1^6} +16* \frac{3^1^5}{4^1^6} + (\frac{3}{4} )^1^6$


P( X > 13) = 0,13363461+0,053453844+0,010022595

P( X > 13) ≈ 0,1971

Logo teremos que:

P(X ≤ 13) = 1 - P(X>13)

P(X≤13) ≈ 1- 0,1971

P(X ≤13) ≈ 0,8028 ⇒ 80,28%
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C)

Exatamente 12 é igual a:

$P(X = 12) = 364* \frac{3^1^2}{4^1^6}$

P(X = 12) ≈ 0,045 ⇒ 4,5%

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D)


Média = n*p

Média = 80*(3/4) ⇒ 60 alunos

Variância = σ² = (n*p*q)

σ² = (80)*(3/4)*(1/4)

σ² = (60)*(1/4)

σ² = 20