Question

\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}$

Em caso de operações com raízes em limites que chegam em indeterminações, geralmente multiplicamos em cima e embaixo pelo "conjugado", além de poder aplicar a Regra de L'Hôspital, se tiver aprendido derivação
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Então, vamos multiplicar o numerador e o denominador por $\sqrt[4]{x+1}+1$:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(\sqrt[4]{x+1}-1)(\sqrt[4]{x+1}+1)}{x(\sqrt[4]{x+1}+1)}$

Temos um produto notável no numerador: Produto da soma pela diferença de dois termos

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(\sqrt[4]{x+1})^{2}-1^{2}}{x(\sqrt[4]{x+1}+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[2]{x+1}-1}{x(\sqrt[4]{x+1}+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{x(\sqrt[4]{x+1}+1)}$

Faremos o mesmo procedimento: Multiplicaremos em cima e embaixo por $\sqrt{x+1}+1$

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+1}+1)}{x(\sqrt[4]{x+1}+1)(\sqrt{x+1}+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{(\sqrt{x+1})^{2}-1^{2}}{x(\sqrt[4]{x+1}+1)(\sqrt{x+1}+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x+1-1}{x(\sqrt[4]{x+1}+1)(\sqrt{x+1}+1)}$

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{x}{x(\sqrt[4]{x+1}+1)(\sqrt{x+1}+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{(\sqrt[4]{x+1}+1)(\sqrt{x+1}+1)}$

Agora podemos fazer a substituição direta, já que o limite de baixo não é zero

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{(\sqrt[4]{0+1}+1)(\sqrt{0+1}+1)}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{(1+1)(1+1)}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{4}}}$
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P.S:

$(\sqrt{x+1})^{2}=|x+1|=\begin{cases}x+1,~~~~~~~~se~x~\ge-1\\-(x+1),~~~se~x~\textless-1\end{cases}$

Como essa função não está definida para x < -1, pois a raiz quarta (assim como todas raízes de índice par) só é deifinida (no campo dos reais) para radicandos maiores ou iguais a zero, portanto:

$x+1\ge0~~~~\therefore~~~~x\ge-1$

Logo, não considerei que $\sqrt{x+1}=\pm(x+1)$, considerei apenas o positivo.
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Resolvendo por L'Hospital:

Se tentássemos fazer uma substituição direta no limite, chegaríamos na indeterminação 0/0

Limites que chegam em indeterminações do tipo 0/0 ou ∞/∞ podem ser resolvidos pela Regra de L'Hospital:

$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$

Se o limite da parte direita existir.

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\frac{d}{dx}(x+1)^{1/4}-\frac{d}{dx}1}{\frac{d}{dx}x}$

Vamos derivar a raiz quarta pela regra da cadeia

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\frac{1}{4}(x-1)^{(1/4)-1}\cdot\frac{d}{dx}(x-1)-0}{1}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{1}{4}(x+1)^{-3/4}\cdot1\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{4}(0+1)^{-3/4}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{4}\cdot1^{-3/4}$

Como 1 elevado a qualquer número real é 1:

$\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{4}\cdot1\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt[4]{x+1}-1}{x}=\dfrac{1}{4}}}$