Question

discuta em função de k o seguinte sistema:

-4x+3y=2

5x-4y=0

2x-y=k

Answer 1

Tém-se o sistema de equação linear:

$\begin{cases} -4\text{x}+3\text{y}=2 \\ 5\text{x}-4\text{y}=0 \\ 2\text{x}-\text{y}=\text{k} \end{cases}$

Somando as três equações, temos:

$(-4\text{x}+5\text{x}+2\text{x})+(3\text{y}-4\text{y}-\text{y})=(2+0+\text{k})$

$3\text{x}-2\text{y}=2\text{k}$

Desta maneira, podemos formar outr sistema, com apenas duas equações:

$\begin{cases} 2\text{x}-\text{y}=\text{k} ~ (\text{i}) \\ 3\text{x}-2\text{y}=2\text{k} ~ (\text{ii}) \end{cases}$

Multiplicamos a equação $(\text{i})$ por $3$ e a $(\text{ii})$ por $(-2)$ para que tenhamos termos simétricos.

$\begin{cases} (2\text{x}-\text{y}=\text{k}) ~ \cdot 3 \\ (3\text{x}-2\text{y}=2\text{k}) ~ \cdot (-2) \end{cases}$

$\begin{cases} 6\text{x}-3\text{y}=3\text{k} \\ -6\text{x}+4\text{y}=-4\text{k} \end{cases}$

Siplificando os termos semelhantes, temos:

$(4\text{y}-3\text{y})=(3\text{k}-4\text{k})$

Donde, obtemos $\text{y}=-\text{k}$

Substituindo o valor de $\text{y}$ em $(\text{ii})$, tém-se:

$3\text{x}-2(-\text{k})=2\text{k}$

$3\text{x}=2\text{k}-2\text{k}$

Donde, segue $\text{x}=0$

$\text{y}=-\text{k}$

Logo, chegamos à conclusão de que $x=0~\wedge\text{y}=-\text{k}$.

Answer 2

$<var>\\resolvendo\ primeiramente\ esse\ sistema\ 2x2\\\\\left \{ {{-4x+3y=2} \atop {5x-4y=0}} \right.\\ 1ª linha:x4\ 2ªlinha:x3\\ \\\left \{ {{-16x+12y=8} \atop {15x-12y=0 }} \right.\\ Isso\ implica :\\\ x=-8\ e \ y=10\\ assim , com\ a\ 3ª\ equacao,\ temos\ o\ valor\ de\ k :\\ 2x-y=k---> \ \ \ 2.(-8)-10=k \, portanto:\ k=-16 </var>$