Question

DIFÍCIL :

USE O PRINCÍPIO DA CASA DOS POMBOS para Mostrar que, para todo n e para a_0, a_1, ..., a_n inteiros quaisquer, existem a_i e a_j tal que a_j − ai seja
divisível por n.

Answer 1

Resposta:

Olá

Explicação passo-a-passo:

A "casa dos pombos" seriam os restos módulo n e os

pombos são os números a_1,....a_n. Ou seja,

[0]={x∈Z: x≡0 mod(n)}

[1]={x∈Z: x≡1 mod(n)}

[2]={x∈Z: x≡2 mod(n)}

...

[n-1]={x∈Z: x≡n-1 mod(n)}

são as casas.

Note que existem apenas n possíveis restos, enquanto que existem n+1 inteiros a_i, logo, pelo  Princípio, deve existir ao menos dois números a_i e a_j que devem estar numa mesma classe [k], deixando resto k mod (n).

Aqui fazemos uso da propriedade:

Se a≡b mod(p) e c≡d mod(p), então  a−c≡b−d mod(p)

Sendo assim, a diferença  de a_i e a_j

possui resto 0  sempre que for dividida por n, isto é

a_i-a_j ≡0 mod(n)

Bons estudos