Question

Deuses da matemática.. Eu os invoco !!!

$\boxed{x^2+xy+y^2-3=0}$

Qual é a cônica representada por essa equação?

Answer 1

Como surgiram vários pedidos eu vou responder, sei que você também ficou na curiosidade hehe...

A figura é uma ELIPSE, vou provar

$x^2+xy+y^2-3=0$

vamos escrever de uma forma diferente ;)

$\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1&0,5\\0,5&1\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}-3=0$

agora vamos procurar os autovalores

$det(A-\lambda*I)=0$

$\begin{vmatrix}1-\lambda&0,5\\0,5&1-\lambda\end{vmatrix}=0$

$(1-\lambda)^2-0,25=0$

$\boxed{\boxed{\lambda_1=1,5\\\lambda_2=0,5}}$

Agora vamos ver o autovetor

$(A-\lambda*I)*\overrightarrow{V}=0$


para $\lambda=0,5$

$\begin{bmatrix}1-0,5&0,5\\0,5&1-0,5\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_1\\y_1\end{bmatrix}=0$

$\begin{Bmatrix}0,5x_1+0,5y_1&=&0\\0,5x_1+0,5y_1&=&0\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}0,5x_1+0,5y_1&=&0\\0&=&0\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}x_2&=&-\alpha\\y_2&=&\alpha\end{matrix}~~~~~~\forall\alpha\in\mathbb{R}$


para $\lambda=1,5$

$\begin{bmatrix}1-1,5&0,5\\0,5&1-1,5\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x_2\\y_2\end{bmatrix}=0$

$\begin{Bmatrix}-0,5x_2+0,5y_2&=&0\\0,5x_2-0,5y_2&=&0\end{matrix}$

$\begin{Bmatrix}-0,5x_2+0,5y_2&=&0\\0&=&0\end{matrix}$

com esse grau de liberdade

$\begin{Bmatrix}x_2&=&\beta\\y_2&=&\beta\end{matrix}~~~~~~\forall\beta\in\mathbb{R}$

Então temos um autovetor já e unitários

$V=\begin{bmatrix}-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{bmatrix}$

Isso não será tão importante pra esse exercício, mas temos também o vetor diagonalizado

$\begin{bmatrix}x'&y'\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}0,5&0\\0&1,5\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}-3=0$

dai resolvendo essa matrix

$0,5(x')^2+1,5*(y')^2-3=0$

$\frac{(x')^2}{2}+3*\frac{(y')^2}{2}=3$

multiplicando tudo por $\frac{1}{3}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\frac{(x')^2}{6}+\frac{(y')^2}{2}=1}}}$

Isto é a equação de uma Elipse ;D como havia dito no início.