Question

Determine x, y e z no sistema linear?{7x + 3y - z = 10
{x - 2y + z = -7
{ y + z = 2

Answer 1

SISTEMAS LINEARES

Resolução por Escalonamento

Vamos escalonar este sistema, para assim, obtermos um sistema com apenas duas incógnitas:

| 7x+3y-z=10   I    primeiro, vamos trocar a equação I, pela equação II:
|  x-2y+z= -7   II
|      y+z=2     III
                                    
  x-2y+z= -7------     agora vamos multiplicar os termos da primeira equação
7x+3y-z = 10     |   por (-7) e somar com as duas outras e repetir a equação I:
       y+z=2  |     |
                  |     |________-7x+14y-7z=49     Aqui 
                  |_________+   7x + 3y-z = 10
                                      ----------------------
                                        0  + 17y-8z=59 isso aqui vai no lugar da equação II

agora vamos fazer o mesmo procedimento com a equação III:

                                               14y-7z = 49     
                                             +   y+z = 2
                                               ------------------
                                                 15y-6z= 51  esta equação vai ficar no lugar 
                                                                    da equação III

Agora, vamos ver como ficou o sistema, juntando os resultados, veja:

          x-2y+z= -7
            |17y-8z=59           observe que agora temos um sistema com duas 
            |15y-6z=51           variáveis, é só resolver este sistema pelo método da

substituição:

|17y-8z=59   I        isolando y em função de z, temos:  $y= \frac{59+8z}{17}$
|15y-6z=51   II

Agora vamos substituir y na equação II:

$15( \frac{59+8z}{17})-6z=51$

$15(59+8z)-102z=867$

$885+12z-102z=867$

$120z-102z=867-885$

$18z=-18$

$z= \frac{-18}{18}$

$z=-1$

Bom, já descobrimos z, agora vamos descobrir y, para isto, basta substituirmos naquela 3a equação láaa em cima:

y+z=2 ==> y+(-1)=2 ==> y-1=2 ==> y=2+1 ==> y=3

Agora tá facinho, pra garantir, vamos pegar a equação I lá em cima, a que tem 3 incógnitas, e substituímos os valores de y e z :

x-2y+z= -7 ==> x-2*3+(-1)= -7 ==> x-6-1= -7 ==> x-7= -7 ==> x= -7+7 ==> x=0

Pronto, o sistema está resoluto, basta pormos a solução:



Solução: x,y,z {(0, 3, -1)}