Question

Determine x, em radiano, sabendo que cos (x − π 2 ) = −1 e que 0 ≤ x ≤ 2π.

Answer 1

Sabendo que cos (π) = - 1, então (espero que eu tenha entendido de maneira correta sua questão) cos (x − π/2 ) = − 1 = cos (π) ⇒ x - π/2 = π + 2kπ ⇒ x = π + π/2 + 2kπ ⇒ x = 3π/2 + 2kπ.

Perceba que encontramos o valor de x. Pela condição  0 ≤ x ≤ 2π  ⇒

0 ≤ 3π/2 + 2kπ ≤ 2π ⇒ 0 ≤ π(3/2 + 2k) ≤ 2π ⇒ 0 ≤ 1,5 + 2k ≤ 2 ⇒

- 1,5 ≤ 2k ≤ 2 - 1,5 ⇒ -1,5/2 ≤ k ≤ 0,5/2 ⇒ - 0,75 ≤ k ≤ 0,25. Como k é inteiro, vamos arredondar - 0,75 para cima, que vai resultar em 0 e 0,25 para baixo que vai ser 0. Logo, 0 ≤ k ≤ 0 ⇒ k = 0 é o único valor que satisfaz essa condição.

O motivo de toda essa brincadeira é para descobrirmos o intervalo de valores inteiros de k para substituirmos na equação geral de x e, assim, determinar os ângulos particulares que pertencem a esse intervalo. Nesse contexto, o único candidato é k = 0, pois os demais são negativos ou maiores que 2π, conforme nossa inequação mostrou.

Portanto, para k = 0 ⇒ x = 3π/2 + 2 · 0 · π = 3π/2.

∴ S = {3π/2}.

Forte abraço : D