Question

Determine X e Y na igualdade?
 [3 -1]² * [x] = [13]
 [1 2]     [y]    [ 2 ]

Answer 1

Queremos encontrar uma matriz coluna  $\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$ que satisfaça a equação matricial

$\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}^{2} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 13\\ 2 \end{bmatrix}\;\;\;\text{(i)}$


Seja $\mathbf{A}=\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}$. Sendo assim

$\mathbf{A}^{2}=\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}^{2}\\ \\ \mathbf{A}^{2}=\begin{bmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}\\ \\ \mathbf{A}^{2}=\begin{bmatrix} 3 \cdot 3+(-1)\cdot 1\; &\; 3 \cdot (-1)+(-1)\cdot 2\\ 1 \cdot 3+2 \cdot 1 \;&\; 1 \cdot (-1)+2 \cdot 2 \end{bmatrix}\\ \\ \mathbf{A}^{2}=\begin{bmatrix} 9-1\; &\; -3-2\\ 3+2\;&\; -1+4 \end{bmatrix}\\ \\ \mathbf{A}^{2}=\begin{bmatrix} 8 & -5\\ 5 & 3 \end{bmatrix}\;\;\;\text{(ii)}$

Substituindo a matriz acima na equação $\text{(i)}$, temos

$\overbrace{\begin{bmatrix} 8 & -5\\ 5 & 3 \end{bmatrix}}^{\mathbf{A}^{2}} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 13\\ 2 \end{bmatrix}\;\;\;\text{(iii)}$


O determinante da matriz $\mathbf{A}^{2}$ é

$\det{\left(\mathbf{A}^{2} \right )}=8 \cdot 3-(-5) \cdot 5\\ \\ \det{\left(\mathbf{A}^{2} \right )}=24+25 \Rightarrow \det{\left(\mathbf{A}^{2} \right )}=49\;\;\;\text{(iv)}$

Como o determinante é diferente de $0 \text{ (zero)}$, a matriz $\mathbf{A}^{2}$ possui inversa.


Para calcular a inversa de uma matriz $2 \times 2$, tem uma regrinha prática. O passo-a-passo é

- trocar as posições dos elementos da diagonal principal;
- inverter os sinais dos elementos da diagonal secundária;
- multiplicar tudo pelo inverso do determinante da matriz original (o determinante deve ser diferente de $0 \text{ (zero)}$.

Após esses procedimentos, a matriz resultante é a matriz inversa.


Então a inversa da matriz $\mathbf{A}^{2}$ é

$\left[\mathbf{A}^{2}\right]^{-1}=\frac{1}{\det\left(\mathbf{A}^{2} \right )} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -5 & 8 \end{bmatrix}\\ \\ \left[\mathbf{A}^{2}\right]^{-1}=\frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -5 & 8 \end{bmatrix}$


Multiplicando pela esquerda ambos os lados da equação $\text{(iii)}$ pela matriz inversa acima, temos

$\overbrace{\left(\frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -5 & 8 \end{bmatrix} \right )}^{\left[\mathbf{A}^{2}\right]^{-1}}\cdot \overbrace{\begin{bmatrix} 8 & -5\\ 5 & 3 \end{bmatrix}}^{\mathbf{A}^{2}} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \overbrace{\left(\frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -5 & 8 \end{bmatrix} \right )}^{\left[\mathbf{A}^{2}\right]^{-1}} \cdot \begin{bmatrix} 13\\ 2 \end{bmatrix}$

$\overbrace{\frac{1}{49}\cdot\begin{bmatrix} 3 & 5\\ -5 & 8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 8 & -5\\ 5 & 3 \end{bmatrix}}^{\left[\mathbf{A}^{2}\right]^{-1} \cdot \mathbf{A}^{2}} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -5 & 8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 13\\ 2 \end{bmatrix}$

A multiplicação entre uma matriz e sua inversa resulta na matriz identidade de mesma ordem. Assim, sendo $\mathbf{I}_{2}$ a matriz identidade de ordem $2$, temos

$\overbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}}^{\left[\mathbf{A}^{2}\right]^{-1} \cdot \mathbf{A}^{2}=\mathbf{I}_{2}} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -5 & 8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 13\\ 2 \end{bmatrix}$

Então, chegamos a

$\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -5 & 8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 13\\ 2 \end{bmatrix}$

Como a multiplicação com a matriz identidade não altera o resultado do produto, temos

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 3 & 5\\ -5 & 8 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 13\\ 2 \end{bmatrix}$

Efetuando a multiplicação entre as matrizes do segundo lado da igualdade temos

$\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 3 \cdot 13 + 5\cdot 2\\ (-5) \cdot 13 + 8\cdot 2 \end{bmatrix}\\ \\ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 39 + 10\\ -65 + 16 \end{bmatrix}\\ \\ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \frac{1}{49} \cdot \begin{bmatrix} 49\\ -49 \end{bmatrix}\\ \\ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {}^{49}\!\!\diagup\!\!{}_{49}\\ {}^{-49}\!\!\diagup\!\!{}_{49} \end{bmatrix}\\ \\ \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1\\ -1 \end{bmatrix}$.

Logo, $x=1$ e $y=-1$.